<style type="text/css">
<!--
@page
{margin:2cm}
h3
{margin-bottom:0.21cm}
h3.western
{font-family:"Liberation Serif",serif}
h3.cjk
{font-family:"文泉驿正黑";
font-style:normal}
h3.ctl
{font-family:"Lohit Hindi"}
p
{margin-bottom:0.21cm}
a:link
{}
-->
</style>
无穷小微积分(Keisler著)的简介
上世纪中叶(1976年)出版的“ElementaryCalculus”(by
JeromeKeisler是一本基于无穷小概念的初等微积分学教程,读者面十分广泛。全书共分14章,不算本书的第二版前言以及附在书后的”后记“(Epilogue),共计900多页(大开本厚书)。
本书各章节的名称如下:
第一章:实数与超实数;第二章:微分法;第三章:连续函数;第四章:积分法;第五章:极限,解析几何与逼近法;第六章:积分的应用;第七章:三角函数;第八章:指数与对数函数;第九章:无穷级数;第十章:向量;第十一章:偏微分法;第十二章:多重积分;第十三章:向量分析;第十四章:微分方程,以及本书的后记。
本书作者JeromeKeisler生于1936年12月3日,其博士指导教师是大名鼎鼎的数理逻辑学家AlfredTarski(atBerkely),博士论文”超积与初等类“。值得注意的是,”超积“(即由无穷序列构成的集合)相对超滤器的等价分类就导致非标准模型的研究。回顾上世纪50年代,非标准模型的研究成果大量涌现,特别是,在1960年前后,A.Robinson建立了无穷小的严格数学基础,重新恢复了”无穷小“在现代数学中的名誉。
从1969年开始,30出头的Keisler勇敢地投身到把”无穷小“重新引入现代微积分教学活动的”洪流“(是一番“大事业”)中去。在世界”模型论“兴起的历史大背景下,1976年,由Keisler执笔撰写的完全针对初学者的”初等微积分“(ElementaryCalculus)教科书(基于无穷小方法)终于出版了,世人的眼睛为此一亮。这是世界上第一本严格意义的”无穷小微积分“的基础教材,所以值得祝贺(时间太晚了)。
面向一个对数学知识”基本无知“的学生,如何讲授微积分确实具有很大的挑战性。怎么由浅入深,循序渐近?这一切必须遵守教学规律,不能“独出心裁”,胡乱地”自主创新“。在深入教学第一线,了解情况,积累经验的基础上,该书作者大胆地从几何直观切入,首先给学生建立起“超实线”(Hyperrealline)的观念,一步一步深入,直接指向微积分的根本问题:寻求基于无穷小概念的变量“变化率”(比如,寻求切线的斜率与运动质点的速度)。在该书第一章,从最基本的数学概念讲起,处处为无穷小的登场埋下“伏笔”,顺利地逐步引导学生进入“主题”,甚至是“高潮”。对学生而言,引入“无穷小”是非常自然的事情,完全不会产生“心理负担”,而且,还会产生学习数学的浓厚兴趣。
该书第一章有许多这样的“启发示意图”:
图中,我们可以看到”超实线“(Hyperrealstraight)的字样。最有意思的是,这里有一个指向“切点”的显微镜(Microscope),通过它学生能够看见“无穷小的变化情况,如同“身临其境”。作者巧妙地把无穷小“嵌入”到学生的脑袋之中,使得他们习惯于用无穷小思考问题,处理问题。如果有人对他们说,“无穷小”是虚构,他们肯定对他“翻白眼”。且听下回分解。
袁萌
11月27日清晨
<style type="text/css">
<!--
-->
</style>
分享到:
相关推荐
FOUNDATIONS OF INFINITESIMAL CALCULUS 无穷小微积分基础 foundation ofinfinitesimal Calculus
牛顿和莱布尼茨建立微积分的出发点是直观的无穷小量,因此这门学科早期也称为无穷小分析,这正是现在数学中分析学这一大分支名称的来源。牛顿研究微积分着重于从运动学来考虑,莱布尼茨却是侧重于几何学来考虑的。 ...
基于超实数系统的微积分介绍。 需要对微积分的基本概念有所了解。
本书从常识性的平凡道理出发,不用极限概念也不用无穷小概念,直截了当地定义了函数的导数。定义了微积分等。
虽然人们都说,牛顿和莱布尼茨在前辈对特殊情形下求面积、体积和求切线问题的基础上,各自独立地创立了微积分,但那个时代的微积分是建立在神秘的“无穷小量”的基础上。正因为他们的微积分在理论基础上的缺陷,...
清华大学微积分高等数学无穷小量续PPT学习教案.pptx
总结了高等数学微积分常用公式,适合快速查阅,本资源为word版本,方便进一编辑排版: 一、基本导数公式 二、导数的四则运算法则及常用法则 三、高阶导数的运算法则 四、基本初等函数的n阶导数公式 五、微分公式与...
微积分 A1 第 3 次习题课答案 函数极限与数列极限试求下列极限:证明:(1)已知解:求证:证明:有界 又是等价无穷小.求解:因此,试求下列极限:解:(1)
总结了高等数学微积分常用公式,适合快速查阅。包括常用: 一、基本导数公式 二、导数的四则运算法则及常用法则 三、高阶导数的运算法则 四、基本初等函数的n阶导数公式 五、微分公式与微分运算法则 六、微分运算...
本教案是本人自己做的,希望能够给大家带来方便,加油
后来人们也将微积分学称为分析学(Analysis),或称无穷小分析,专指运用无穷小或无穷大等极限过程分析处理计算问题的学问。 早期的微积分,已经被数学家和天文学家用来解决了大量的实际问题,但是由于无法对无穷小...
当然,根据教师的喜好,其他主题安排也是可能的,例如直接用差分方程引导,用无穷小定义导数(如在非标准分析中),或者从一开始就引入向量和多变量微积分。 其他示例和想法可以在使用 MATLAB 进行微积分教学页面...
高等数学中的导数公式和等价无穷小公式,考研必备的神器!
后来人们也将微积分学称为分析学(Analysis),或称无穷小分析,专指运用无穷小或无穷大等极限过程分析处理计算问题的学问。 早期的微积分,已经被数学家和天文学家用来解决了大量的实际问题,但是由于无法对无穷小...
后来人们也将微积分学称为分析学(Analysis),或称无穷小分析,专指运用无穷小或无穷大等极限过程分析处理计算问题的学问。 早期的微积分,已经被数学家和天文学家用来解决了大量的实际问题,但是由于无法对无穷小...
后来人们也将微积分学称为分析学(Analysis),或称无穷小分析,专指运用无穷小或无穷大等极限过程分析处理计算问题的学问。 早期的微积分,已经被数学家和天文学家用来解决了大量的实际问题,但是由于无法对无穷小...
后来人们也将微积分学称为分析学(Analysis),或称无穷小分析,专指运用无穷小或无穷大等极限过程分析处理计算问题的学问。 早期的微积分,已经被数学家和天文学家用来解决了大量的实际问题,但是由于无法对无穷小...
后来人们也将微积分学称为分析学(Analysis),或称无穷小分析,专指运用无穷小或无穷大等极限过程分析处理计算问题的学问。 早期的微积分,已经被数学家和天文学家用来解决了大量的实际问题,但是由于无法对无穷小...
大学高等数学等价无穷小教学总结
第二讲 数列极限与无穷小.pdf