无穷小与罗宾逊（A. Robinson）

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在数学发展史上，非欧几何、无理数与非标准分析等新的学科分支都有一个不雅的“称呼”，比如：“非欧”、”无理“与”非标准“，等等。我们要问，无理数真的是“无理”吗？无穷小真的是“非标准”吗？非也。实际上，当今在数学上，“非标准”这个形容词还很“吃香”呢！

在古代，“无理数”是不被人们承认的，人们不愿意接受它，故称其为“无理数”。现在，同样的情况也出现了，有人不愿意接受无穷小的这个概念，称其为“非标准数“（贬义词，不意思是”标准“也）。他们认为，这种东西实在太荒唐了。说什么“大于零而小于所有的正实数”，这简直是“异端邪说”。......将来也许有一天，比如再过几百年，到了那时，人们平日思考问题恐怕离不开无穷小，对无穷小也就没有人出来说怪话了，......那是将来的事情。

有人或许会说，你拿出一个”无穷小“来让我们看看。1960年，A. Robinson就公开（发表文章）构造出一批数学”无穷小“，紧跟着，在1976年Jerome Keisler就把罗宾逊的”无穷小“抽象观念创造性地写进了初等微积分学教程，叫人”大跌眼镜“，目瞪口呆也。如今，半个世纪过去了，人们对“无穷小”也就习以为常，不在说什么（怪话）了。时至今日，无穷小终于慢慢地被现代数学接纳了，有无数论文为证，出来反对就没有什么意思了。

罗宾逊是何许人也？他的”无穷小“在数学中合法吗？J. Keisler的”跟风”是冒进，还是跟错了大方向？有的数学家喜欢”钻牛角尖“，遇到问题喜欢“死扣”到底，有股子韧劲，而且“没完没了”。其实，这既是一种缺点，也是一种优点。

罗宾逊（Abraham Robinson)生于1918年10月6日，出生在一个德国犹太人家庭，16岁跟随父母侨居英国求学。在二战期间，他参加法国空军抗击德寇的战斗。后来，罗宾逊定居美国，1974年4月111日，死于胰腺癌，享年56岁。关于他的生平，我们可以归结为一句话：罗宾逊的一生就做了一件事情：把无穷小（借助模型论紧致性定理）严谨无误地引入到现代数学的研究实践中，使其成为数学大家庭的合格一员。他的成名作品“非标准分析”（1966年出版），其中有关赋范线性空间的内容是我翻译成中文的。总之，罗宾逊的最大功绩就是在现代数学中引入富含无穷小与无穷大的超实数*R（连续统）。

1976年，J. Keisler的最大功绩就在于一点：把罗宾逊关于无穷小的理论研究创造性（而且很独特）地引入到初等微积分的教学过程之中，使得无穷小进入到广大人群的视线之中。在此，我们特别需要提醒的是，J. Keisler本人是20世纪世界数理逻辑权威人物Alfred Tarski的高徒，是世界知名的模型论专家，而不是普通中小学的一名数学教员。我们可以公正地说，关于无穷小的理论是“师出名门”，绝非“旁门左道”之说。