微积分（Calculus）中的显微镜与望远镜

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今天是J.Keisler教授的76岁生日。在此，我们祝贺他。他对微积分的贡献是什么呢？为什么？

从历史上来看，人类能够掌握微积分堪称是一项“奇迹“。从实质上来看，微积分（Calculus）就是关于变动量的理论，牛顿称之为”流量术“，研究什么”消失中的量“(难道还有正在产生中的量？)。变量是什么？按照当年苏联的微积分教科书的定义，”变量“就是在某一个数集里面取值的符号。建立一个自圆其说的微积分”理论体系“不是一件很容易的事情。

经历了300多年的孕育过程，在1870年前后，现代严格意义上的微积分学终于在外尔斯特拉斯及其弟子（学生）康托尔的手中完成了。从此之后，微积分的数学大厦建立起来了，无穷小没有任何”存身之地“，名誉扫地。大家知道，基于（ε，δ）语言的极限论（Limit theory）是微积分的核心部分。但是，奇怪的是在用基于（ε，δ）语言构造的微积分中，什么”无限地趋近“，”任意小“的种种说法仍然不绝于耳。这是什么原因呢？为什么”无穷小“的幽魂始终不肯散去？

1960年，A.Robinson用数理逻辑的模型论证明了一个事实：人们可以另外构建一座微积分大厦（功能与原来的那一座微积分大厦完全一样），但是在其中存在无穷小与无穷大。对此，人们震惊了。由此，人们也终于觉醒了。当时，世界模型论的”领头羊“AlfredTarski正好在指导学生J.Keisler专攻模型论的核心课题”超积“（Hyperproduct）。1961年，J.Keisler取得了博士学位，并且立即着手构建那座全新的微积分大厦。简而言之，就是把无穷小重新引入现代严格意义上的微积分研究领域，使“无穷小”的幽灵复活。这可不是一件简单的事情。

在微积分重建过程中，J.Keisler发明了一种功能强大的显微镜与望远镜，能够洞察极端微小与极为遥远的“空间”，如下图所示：

在上图中，”Microscope”（显微镜）用于观察无穷小范围的情景，“Telescope”(望远镜)用于观察无穷大范围的情景。这里要注意的是：这个无穷小显微镜只能对准一个实数的“点”，放大倍数是无限大，而且，在显微镜的视野里面只能看到一个“实点”（Real point），其余都是超实点“，相互无限地接近，构成一个所谓的“单子”（Monad）。同样地，在望远镜的视野中，只能看到一个“银河”（Galaxy)，一个“银河”里面全是无限远的”超实点”。

事实上，J.Keisler首创的显微镜与望远镜的理论根据是模型论的相关定理（Compactnesstheorem）。这一点，J.Keisler在“Foundationof infimitesimalcalculus”最后一章（第15章）有所交代。有趣的是，在无穷小显微镜视野里面，我们所看到的直角三角形都是无穷小三角形，它们竟然还遵守勾股玄定理。奇怪不？我们可以说，这两个“宝镜”就是J.Keisler对初等微积分的最大贡献（独创）。且听下回分解也。