微积分（Calculus）中的单子（Monad)与银河(Galaxy)

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根据J.Keisler撰写的“无穷小微积分基础”（Foundation of Infinitesinal Calculus）第一章第一节给出的定义：

单子：monad(x)= { y∈ *R ┃y≈x}以及

银河：galaxy(x)= { y ∈ *R ┃ y - x is finite}

这里，我们要注意的是：x是超实数系*R里面的任意元素，对其均可定义相应的单子与银河。符号“≈”表示无限接近的意思，而关系“y-x”距离有限，构成一个等价分类，在普通实数系R里面，很明显，只有一个银河。我们称银河dalaxy(0)是“主银河”。我们经常使用的数系就是主银河。（Primcipal galaxy）。

在无穷小微积分里面，单子与银河是基本的概念。单子与银河很容易推广到高维情况，比如说，二维单子与二维银河。容易看出，有限单子里面只有一个“标准实数”。证明这一点，需要用到实数系的“完备性”。所以我们说，无穷小微积分是原有微积分的另一种“模型”，不是要取代它，两者“相辅相成”。

在超实数系*R里面，单子对应于显微镜，银河对应于望远镜。可以这么说，无穷小微积分就是在单子与银河之间“反复周旋”，以文字叙述简洁（指“理论证明”）而取胜（较之传统微积分而言）。我们把话说白了，无穷小微积分也可以叫做“单子微积分”，因为，我们的所有的“思考”活动都是在单子里面进行。的

有人也许好奇：无穷小微积分这么怪怪的，其”老祖宗“是谁呢？1930年，德国数理逻辑学家哥德尔（Godel）证明了一条著名的模型论定理，叫做“紧致性定理”，由此埋下了无穷小理论的种子。在此基础上，1960年，A.Robinson创建“非标准分析”只是”练习“而已。1976年，J.Keisler的无穷小微积分，却是需要花费大气力的工作，既繁杂，又麻烦，费力不讨好。我们现在鼓吹“无穷小”算是跟在别人后面“吹喇叭”，连抬轿子都轮不上。

模型论“紧致性定理”是什么呢？现在，无穷小微积分的网络课程，我还没有开课，“紧致性”一两句话是讲不明白的。但是，在将来我肯定要把它介绍给大家，不能心急。现在的问题是，无穷小微积分讲课网站的域名已经拿到手了，但是，还得等上级批准，有了运营许可证号码才行对外开通。大家再耐心等待几天。

在今年10月26日至28日期间，我回南京大学参加老同学毕业50周年纪念活动，有人对我说：非标准分析曾经红火了几年。言下之意是，现在不红火了。是的，非标准分析曾经“红火”了几年，那是我带头参与的（时间早了30多年），现在重新点燃这把“火”，也是我搞的。不过这是跟在人家屁股后面跑，算不上是什么大事。希望大家不要见笑。我很怕羞。