平安夜有感于微积分新世界

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昨日是西方的“平安夜”，跟随家人去家乐福超市采购，推购物车有感。

微积分学里面有许多含有函数的“表达式”，以及用等式或不等式将其连接起来的所谓“陈述句”（Stetement），表述某些”事实“（或知识）。形象地说，这些语句（陈述句）的集合构成了微积分大厦，大厦是一座知识库（或理论模型）。大家知道，微积分大厦的”底座“就是实数系R。

如今，引入了超实数系*R，建立在这个”新底座”上的微积分新大厦里面有什么东西呢？总不能空空如也吧？我们设法把原有“陈述句”统统搬过来，然后再说。搬动原有的陈述句行不行呢？句子里面的变量与函数在新的“底座”上能不能有定义呢？比如说，Sin（ε）是不是无穷小？√ε存在不存在？这些都是不能回避的问题。

J.Keisler在《初等微积分》第一章第5节（28页）给出了一条模型论准则(或公理)，叫“Transfer Principle”（转移准则），说：

"“Every real statement that holds（适用）for one or more particular real function holds（也适用于）for the hyperreal natural extension（自然延伸）of the function”

如此一来，我们的问题就算解决了。

比如陈述句：0< Sin(x) < x (当0< x < 3.14/2)，根据上述”转移准则“，我们知道不等式0< Sin(ε) < ε 成立。类似地，有恒等式：

Sin(ε)平方 + Cos(ε)平方 = 1

成立，等等，......

至此，微积分新世界里面有了不少知识，但是，极限、微分和积分是不是也可以自然延伸过来呢？不行。实数的完备性就不能使用上述的陈述句表达出来，因而，转移不过来。那么，我们该怎么办？由此，无穷小与无穷大的”新方法“应运而生了。简单地说就是：（ε，δ）方法变成了（ε，H）方法，这里，ε是无穷小，H是无穷大（正整数）。微积分学完全变了”模样儿“（定理证明大为简化，更加便于理解与应用）。这是微积分学历史性的大进步。我们紧跟数学发展的潮流，大方向没有错。

事实上，微积分新底座要比老底座更为牢固，因为，新地盘比老地盘大多了，严格地包容了各种”理想“无穷量。俗话说，高楼大厦平地起嘛！有人担心，新款微积分能不能用？这个问题不必担心，任何超实函数*f在原有实数上的”取值“都是完全一样的，根本不会影响实际使用。

突然间，我从梦中醒来。原来这是在家乐福超市做的一场”白日梦“（我只管推购物车，不管买什么东西）。

祝愿大家圣诞节快乐！