袖珍电子书的样本：一元实函数的定义

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作为一个样本，这大概是第一本微积分袖珍电子书。请读者注意该定义的布尔巴基学派严谨性、一般性的风格。

一元实函数的定义：

一元实函数是有序实数偶（a,b）的集合f，对任何一个实数a，必然发生以下两种情形：

1，恰好有一实数b存在，使得有序实数偶（a,b）属于集合f，在此种情况下，我们说，f(a)有定义，且记为f(a)= b，实数b称为函数f在a的值；

2，没有实数b存在，使得有序实数偶（a,b)是集合f的元素，在此情况下，我们说，f(a)没有定义。

据此，表达式f(a)= b意味着有序实数偶（a,b）是函数f的元素。

我们要注意：函数f的定义不涉及什么物理映射定律，也不涉及什么逻辑对应法则，只是有序实数偶集合f的某种属性。该定义出自J.Keisler撰写的《Elementary Calculus》（电子版）的第一章第二节，第6页。英文原文如下：

Definition：

A real function of one variable is a set f of ordered pairs of real numbers such that for every real number a one of the following two things happens:

1,There is exactly one real number b for which the ordered pair (a,b)is a member of f. In this case, we say that f(a) is defined and we write f(a) = b.The number b is called the value of f at a.

2,There is no real number b for which the ordered pair (a,b) is a member of f. In this case, we say that f(a) is undefined.

Thus f(a) = b means that the ordered pair (a,b) is an element of f.

注意：函数f的定义以及其值域都可由此导出。给定函数f，由此建立两个实数（或实变量）之间的对应关系（或对应规律）是很容易的事情，但是，不能将函数f直接定义成什么“对应规律”，把物理含义牵扯进来。

说明：一般而言，微积分袖珍电子书都是短文件（中英文对照）。但是，其中不能说废话，尤其不能说假话，对读者不负责任。我们坚信：当大批微积分袖珍电子书推向互联网之后，广大读者会喜欢的。