袖珍电子书：关于实数轴（连续统）与几何直线

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受好奇心的驱使，我突发奇想：实数轴与几何直线两者相比，究竟哪一个更长一些？为什么？

给定一条实数轴（注意“给定”两字），无论其长度有多长，它应该是一个完全确定的“数学对象”（被”锁定“），不是橡皮绳子，可以随意拉长。所以，把它放在一条抽象的几何直线上应该只占该几何直线的一个“小部分”。无穷小微积分倡导者就是这么想的，只有超实数轴才可以与几何直线“相提并论”。为什么？

我们注意以下不等式成立：（n为自然数）

1，2，3，4，...，n，......< H (H为某个确定正的超整数)

人们不解：为何在“有限”的闭区间[0,H]内，存在无限的自然数序列？注意：超整数H当然是超实数数轴上的确定“有限数”。实际上，这种“有限性”正是我们日常生活中所经常遇见的那种“无限性”。比如：有一位旅客进入北京饭店（在王府井的西南边）要求“入住”。接待员立即给他办理“入住”手续，而不问当时宾馆实际上有没有“空房”。这是为什么呢？这是因为，宾馆很大，尽管住房的总数是有限的，但是，随时都会有旅客要求“退房”离开宾馆去机场。这就是在有限中有无限的道理。这就是捷克数学家Vopenka所创立的“另一种集合论”（Alternative Set Theory）的现实根据。

新西兰数学家哥德布拉特（Robert Goldblatt）在《超实讲义》第一章第三节第14页结束语中说“...the geometric line is capable of sustaining a much rich and more intricatic number set than the real line.”意思 是说，几何直线能够承载远比实数轴更丰富、更复杂的”数集“。

数学是人类探索未知世界的有力武器，而数学家的最大”对手“就是”无限性”，而无限性的本质，至今谁也说不很清楚。清明节忆故人，中科院计算所研究员张锦文（1930-1992年？，北京大学数学力学系毕业）是我国公理化集合论及无限性探索的先驱之一。张锦文是我们国内无穷小微积分的倡导者，我只是他的一个小帮手。如今，他人已经先走了（已故）二十多年。但是，我仍然愿意遵循着他的遗愿，在国内继续推动、普及无穷小微积分的神圣事业。

为探究超直线的无限远处的实际情况，J.Keisler发明了一种很奇妙的数学望远镜，透过这付望远镜，可以看到几何直线遥远处的无数“银河”（Galaxy)，永无止境。几何直线的最终“端点”究竟在何处，谁也说不清楚。我们平时常见的实数轴（实数连续统）只是几何直线上的一个”主银河“。我们生活在“主银河”的中心地带，有人偷着在发笑，以为自己已经拥有了全世界（或全宇宙）。

几何学博大精深，我们的实数连续统只占据了几何直线的极小部分，还有巨大的未开垦“处女地”在等着我们去探索。孩子们是我们的未来，他们的眼光应该看得比我们更远一些。在高中阶段，向学生们讲解（或灌输）无穷小微积分的观念，绝对没有害处。（注：无穷小学说不是现代数学的“邪教”。）