袖珍电子书：关于初等函数的历史由来

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说句实在话，任何历史问题研究都是为现在的事情服务的，研究者心中都有某种“鬼胎”。探究初等函数的历史由来，目的也是如此。我们要说明什么问题呢？

我们先把问题说清楚。根据有关研究，“All six trigonometric functions in current use were known in Islamic Mathematics by the 9th century”，也就是说，我们现今所用的6个三角函数在9世纪伊斯兰教的数学中都有了，在中世纪（Mediaeval period）才得以进一步发展，主要用于求解三角形问题。这些函数之间的”关系“（所谓三角恒等式）早就弄清楚了，将其列出表格加以公布。三角函数用于微积分学那是很久以后的事情了。

在物理学、化学、工程技术、数理生物学、经济学与数学研究中，我们遇到一种现象：”whenever a quantity grows or decays at a rate proportional to its current value“，意思是说，某个数量的增加或减少与其现在的数值成比例，比如，计算连续变动的利率。这是我们在日常生活中所经常遇到的一种“数学现象”。使用微积分学的求导工具，不难发现，这种数量依存关系就是指数函数。

在1683年，这类实际问题的研究最终导致Jacod Bernoulli发现极限

的存在。后来，人们称其称为数”e”。进一步，在1697年，Johann Bernoulli在微积分学的研究中引入以数“e”为底的指数函数：y= exp(x)。

从历史发展来看，三角函数在前，指数函数在后；前者为求解三角形问题服务，后者为一类人们经常遇见的数量等比增长情况服务。很明显的事实是：后者的应用面远比前者要广泛（或宽泛），两者不可“同日而语”。这是客观事实，我们必须面对。

非常奇怪的是，国内普通高中把数学教学的主要内容（或重点方向）放在三角函数的恒等变换（技能训练），而把指数函数（概念理解）放在次要位置，与俄罗斯中等普及教育的课程安排“迥然相异”，而不知反省自己。难道要求我们的中学毕业生天天只会求解三角形？我们不妨把中国与俄罗斯的中学毕业生的脑壳打开来看看：一个满脑袋是三角函数恒等式，一个是满脑袋是指数函数应用。社会招聘劳动力（技术工种）需要谁？答案是很明显的。

俄罗斯从上世纪三十年代就开始探索把微积分“下放”到中学阶段，直到1975年，在俄罗斯境内全面铺开。至今，三十多年过去了。俄罗斯社会劳动力的知识素养明显高于我们国内。一个懂得“指数变化”现象的年轻人要比指数知识文盲强很多，不论在哪一方面。当今，中国要复兴（中国梦），要建设强大国家，指数函数不得不及早引入高中阶段（放在重点位置），因而，微积分初步下放中学是迟早的事情。