传统微积分学的尴尬

7月27日，J. Keisler《基础微积分》第2.2节上传互联网之后，让国内传统微积分学者非常尴尬，坐立不安。为什么？

搜索百度百科，查阅“十一五”国家级规划教材，都有如下说法：

设函数y= f(x)在x0的邻域内有定义，x0及x0+ Δx在此区间内。如果函数的增量Δy= f(x0 + Δx) - f(x0)可表示为Δy= AΔx +o(Δx)（其中A是不依赖于Δx的常数），而o(Δx)是比Δx高阶的无穷小，注：o读作奥密克戎，希腊字母,那么称函数f(x)在点x0是可微的，且AΔx称作函数在点x0相应于自变量增量Δx的微分，记作dy，即dy= AΔx。函数的微分是函数增量的主要部分，且是Δx的线性函数，故说函数的微分是函数增量的线性主部（△x→0）。

设函数y= f(x)在某区间内有定义，x0及x0+△x在这区间内，若函数的增量Δy= f(x0 + Δx) − f(x0)可表示为Δy= AΔx + o(Δx)，其中A是不依赖于△x的常数，o(Δx)是△x的高阶无穷小，则称函数y= f(x)在点x0是可微的。AΔx叫做函数在点x0相应于自变量增量△x的微分，记作dy，即：dy=AΔx。微分dy是自变量改变量△x的线性函数，dy与△y的差是关于△x的高阶无穷小量，我们把dy称作△y的线性主部。得出：当△x→0时，△y≈dy。导数的记号为：(dy)/(dx)=f′(X)，现在我们可以发现，它不仅表示导数的记号，而且还可以表示两个微分的比值(把△x看成dx，即：定义自变量的增量等于自变量的微分)，还可表示为dy=f′(X)dX。

我们要问：”当△x→0时，△y≈ dy“这句话是什么意思？什么叫“△y≈ dy”（△y无限接近于dy）？这么一问，麻烦就来了。

J.Keisler在第2.2节微分与切线中给出了一个增量定理如下：

INCREMENT THEOREM

Let y = f(x).Suppose f′‘(x) exists at a certain point x,and Δx is infinitesimal.

Then Δy is infinitesimal, and

Δy =f’′(x)Δx + εΔx

for some infinitesimal ε, which depends on x and Δx.

同时，给出函数微分的定义如下：

DEFINITION

Suppose y depends on x, y = f(x).

(i) The differential of x is the independent variable dx = Δx.

(ii) The differential of y is the dependent variable dy given by

dy = f′'(x)dx.

When dx≠0, the equation above may be rewritten as

Compare this equation with

Figure 2.2.3is not really accurate. The curvature had to be exaggerated（夸大）in order to distinguish the curve and tangent line under the microscope.To give an accurate picture, we need a more complicated figure like Figure 2.2.4, which has a second infinitesimal microscope trained on the point (a+Δx,b+Δy) in the field of view of the original microscope. This second microscope magnifies εdx to a unit length and magnifies Δx to an infinite length.

Figure2.2.4

两者相比，真相不言自明。传统微积分盗用了无穷小微积分的“无限接近于”的概念，现在，显得尴尬无比，无地自容。