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阿尔萨斯
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关于函数增量(Δy)与微分(dy)的思考

 
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728日,J.Keisler《基础微积分》的第2.1节导数、第2.2节微分与切线、第2.3节有理函数的导数、第2.4节反函数和第2.5节超越函数已经上传互联网完毕有感。

在传统微积分学里面,有一个著名的公式:

*Δy = AΔx+ oΔx)

在(*)式中,A是一个常数。“oΔx)”这一项是什么意思呢?“十一五”国家级规划教材宣称:“oΔx)”是所谓“高阶无穷小”(在Δx0条件下)。也就是说,Δx0条件下,oΔx)/Δx0。此时,将表达式AΔx定义为函数yx处的微分。

我们问:(*)式成立与否是不是一定要以”Δx0“为前提?当然不需要这一前提条件。但是,“十一五”国家级规划教材同济大学《高等数学》则不认为是这样的,在微分定义中,编者绑定了前提条件”Δx0“,多年来,培育出不少小糊涂虫。

在第2.2节微分与切线里面,J.Keisler给出函数微分定义如下:

DEFINITION

Suppose y depends on x, y=f(x).

(i) The differential of x is the independent variable dx = Δx.

(ii) The differential of y is the dependent variable dy given by

dy = f'(x)dx.

When dx≠ 0, the equation above may be rewritten as

第2.2节<wbr><wbr>微分与切线

在《无穷小微积分基础》教学辅导电子书里面,J.Keisler给出了该定义与(*)式等价的证明。在超实数*R里面,函数的微分原来就是无穷小表达式f'(x)dx,两个无穷小dydx之比等于函数在该处的导数f'(x)。微分是什么函数增量的“线性主部”说教统统不要了。

在超实数*R世界里面,我们的思维可以自由飞翔。在其背后有严格的数学链条牢牢地铆钉在传统微积分本体之上。反对无穷小微积分就是挑战传统微积分,只有现代唐吉歌徳先生才会干这种傻事情。我们不断地转录、上传这些无穷小微积分的文字、图片资料,就是希望它们能够长时间地释放能量,把无穷小方法渗透进学生们的脑壳中,使其终生受益。无穷小是数数学家的一项伟大智慧发明,完善了微积分学的概念体系。



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