在数学发展历史上,函数的连续性质在很长时间内被认为是当然的。
根据维基网站的说法:历史上第一个比较严格的函数连续性定义归功于伯纳德·波尔查诺。他在1817年用德文写下的定义是这样的:函数在点是连续的,充分必要条件是::
“……若h足够小时,
比任何事先给定的量都小”。
然后波尔查诺在证明中值定理时用ε来表示所谓“事先给定的量”。
大约6年以后,在1823年,法国数学家柯西也给了一个定义,但此定义还不如波尔查诺前面给出的定义清楚:
“……
的大小随着h的减小而不确定地减小。……变量(指x)的一个无穷小的增长会导致函数本身(指f(x))的一个无穷小的增长”。这里的无穷小指的是:一个量的“绝对值不断而无止境地减小以至于小于任何一个事先给定的量”。
现代函数连续性的(ε,δ)极限定义只是把波尔查诺在其证明里的写法中“事先给定的量”用ε来代替就可以了。这个现代函数连续性的定义第一次公开发表在刊物上是在1984年由维尔斯特拉斯的一个学生海涅根据魏尔斯特拉斯的讲义写的。
上世纪60年代,美国数学家A.Robinson创立了《非标准分析》。随后,在1976年,J.Keisler基于《非标准分析》给出了函数连续性的无穷小定义如下:
DEFINITION
f is said to be continuous at a point c if
(1) f is defined at c;
(2) whenever x is infinitely close to c, f(x) is infinitely close to f(c).
这就是说,我们在引入超实数*R之后,明确了“无限地接近”是什么意思,函数的连续性就定义好说了(该定义很直观)。由此可见,无穷小微积分的确立是现代数学的一大进步,概念非常清晰,理论得以简化。我们为什么要吊死在(ε,δ)极限论上呢?微积分学,作为现代数学的基础理论,进展是缓慢的,每一步都是非常艰辛的。透过微积分袖珍电子书,我们看到了这一进展的历程。目前,我们正在完善、“打磨”袖珍电子书(配图),使其成为“图文精品”,字字句句都要经得起时间的考验。我们并不急于求得“快速成功”,慢慢悠悠,等待着人们的最终醒悟。
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