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阿尔萨斯
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一道智力题的数学解

 
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最近看数学。都看的有点锈逗了。看到一道智力题,情不自禁的用数学来解了。。只是不知道结果对不对。
题目:

已知:每个飞机只有一个油箱, 一箱油可供一架飞机绕地球飞180度。飞机之间可以相互加油(注意是相互,没有其他专门的加油机)问 为使一架飞机绕地球一圈回到起飞时的飞机场,最少需要出动几架飞机?用掉几箱油?(所有飞机从同一机场起飞,而且必须安全返回机场,不允许中途降落,中间没有飞机场)

解:
首先考虑一架飞机送的情况。设任务飞机为A.油的单位为度。一箱油为180度
1.假设这架飞机飞过x度返航.并把油给A加满则3x=180。给A的油料能飞x度。解得x为60度。这个时候A能飞到180+60度。根据对称性。去接的飞机,单架最远也只能接60度。所以如果一架飞机送,至少须要两架飞机去接。
2.根据1的假设,如果最少需要三架飞机,那么可以选择一架去接,两架送,或者两架送一架接。这个应该是等价的。那么我们来分析两架飞机能送多远。
设两架飞机一架在x度处返航一架在y度处返航,y>x。那么在y度处,A可以接收的油料为y度。显然送的两架飞机返航后油料均用完是最理想的。那么这两架飞机总共消耗掉2(x+y)度的油。剩余360-2(x+y)的油可以给A。
那么显然有360-2(x+y)=y
所以y=120-(2/3)x.
为了得到y最大,显然x越小越好。那么x最小可以多小呢?
这个一看就知道飞过x后,返航,还剩余的油料为180-2x。此时另外两家架飞机能接收的油料总和为2x。
那么必须x必须满足2x>=180-2x。所以x>=45.
取x=45。得到y=90。
即两架飞机,一架在x=45度处返航,一架在90度处返航能把A送出最远距离为180+90。
根据对称性,接的时候最少也需要2架飞机去接。一架在x处接,一架在45处接。
3:综上,
a.单架飞机送最远送出180+60.而两架飞机接最远接90度。显然不行。
b.两架飞机最远送出180+90。单架飞机最远接60度。显然也不行。
所以,2中的结论4架为最少。

作为一个延伸,如果n架飞架送。那么最远可以送出多远呢?
可以证明,n架飞机的时候,返航距离为xi 那么xi 为 (i * s)/(n+2) 。其中i为油料飞行距离。
所以,n架飞机最远护送出距离为 n * s / (n+2)。
n=2 s = 180则,最远距离为 2 * 180 / 4 = 90度, 即为2架飞机最多能让任务飞机多飞行90度。无限架飞机护送则可可以直接把飞机送到终点。




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