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大家应该明白,集合是公理化集合论的基本概念,可以不予明确“定义”,只要它们都满足公理的要求即可。比如:
集合A= {x┃P(x)}
其中大写字母P代表某个特定的“谓词”,中间的竖线“┃”表示使得后面的命题P(x)为真命题。由此,上述逻辑表达式意思是:集合A表示由那些能够使命题P(x)为真的所有元素x组成的“集合”。这就是朴素集合论(NaiveSet
Theory)关于集合的一般说法,很直观,也很容易理解。我们问:谓词P真有这么大的能耐吗?
大约在1900年,英国大数理逻辑学家罗素提出了一个逻辑”悖论:我们设想,把所有集合分为两大类,第一类中的集合以其自身为元素,第二类中的集合不以自身为元素。假令第一类集合所组成的集合为P,第二类所组成的集合为Q,于是我们可断定:P={A∣A∈A},而Q={A∣A∉A}。我们要问:Q∈P还是Q∈Q?若Q∈P,那么根据第一类集合的定义,必有Q∈Q,但是Q中任何集合都有A∉A的性质,因为Q∈Q。所以Q¢Q,由此引出了矛盾。反之,若Q∈Q,根据第一类集合的定义,必有Q∈P,而显然P∩Q=∅(空集),所以,Q∉Q,还是导致矛盾。这就是著名的“罗素悖论”。罗素悖论还有一些较为通俗的版本,这里就不去说了。
集合的”悖论“是怎么搞出来的?集合论里面怎么会有如此怪诞的“悖论”?原因究竟出在哪里?十几年之后,人们发现,第二类所谓的“集合”(Q不以其自身为自己的元素)确实太宽泛了,简直太庞大了,可能不构成一个常见的“集合”(体形适当),把它改名叫做“集类”(简称“类”Classes)就不会导致矛盾了。也就是说,集合必定是类,反之未必。从此以后,公理化集合论大兴其道。由此可见,布尔巴基学派把数学建立在公理化集合论之上,是无可挑剔的。
实际上,“类“可能不是集合,但是,集合必定是“类”。应该说,发现这个道理,使我们的认识提高一步,是集合论里面发现“悖论”的一大功劳。是不是朴素集合论就不要了呢?不是的。朴素集合论的实际应用仍然相当广泛,一个”悖论“怕什么?但是,一个类与集合的交集可能不是普通的”子集“合,而是所谓”半集“(Semiset),1972捷克数学家Vopenka由此发展出所谓的”另一种集合论“(Alternative
Set Theory),由此也可以创立非标准微积分。
比如,在一个十分庞大宾馆的前台,服务员对任何前来的宾客都可以立即”受理入住“,而不必担心宾馆暂时没有空房间,因为,就在客人办理入住手续时,极有可能有的客人退房,离开宾馆赶往机场。实际上,宾馆住房总是有限的,但是,接待新房客又像是无限的。这就是”无限存在于有限之中“的奇妙现象的。......公理化集合论的帷幕才刚刚拉开,好戏还在后头。
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