夜读《无穷小微积分》（教材）有感

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昨夜，我翻阅了（实际上，是”快速浏览“）J.Keisler撰写的《Elementary Calculus》（第二版，网络电子版）的前三章（共计148页）的全部内容，深有感触。在此，想与大家分享。

办事情就怕”认真“两字。......该书前三章的内容分别是：第一章：实数与超实数；第二章：微分法和第三章：连续函数。实际上，第一章的前三节的内容全部是普通平面解析几何的内容，但是，作者使用了很大的篇幅（24个页面）极为详尽地介绍了斜率与速度的引入过程（或程序）。紧接着，进入”主题“（引入无穷小），同时，很自然地道出了其中的”苦衷“。由此，作者这样说道：Whati is needed is a sharp distinction”（需要一种敏锐的分辨力），使我们能够分辨：什么数是充分的小（Small enough）可以略去，而什么数则不能略去。在此处，作者紧接着这样说：大家知道，只有实数零是充分的小，可以略去（这等于指出了实数系的不足之处）。为解决这一”难题“，我们采取一个大胆的步骤（the bold step），即引入一种新型的数ε，使得ε无限的小而又不等于零。这就是说：以下不等式

（1） -a < ε < + a

对任意的正实数a均成立。作者称满足（1）式的这种新型数”ε“为”无穷小“（Infinitesimal)。为此，作者说：在微积分推理过程中，我们需要一种新型的数系*R（也叫”连续统“），*R包含原有的实数系R以及非零的无穷小。数系*R就称为”超实数系“。在此，作者向读者保证：如同从有理数构造实数系一样，超实数系*R也可以从实数系R严格地构造出来，作者顺便指出，该内容放在本书的”后记“（Epilogue)里面再做进一步”交代“。

关于无穷小的”登台亮相“，作者花费的笔墨虽然不多，但是，却”巧夺天工“，一语道破”天机“，不知不觉地已经把学生引进到无穷小的”数学天堂“。原来，对微积分逻辑推理而言，实数系是不够的，需要继续扩大数系。为什么作者敢于这样肯定地说话？这是因为，在此之前就已经有了A.Robinson在”非标准分析“里面的”发明创造“，即已经证明了无穷小的存在性与合理性。在20世纪里面，A.Robinson关于无穷小的研究成果可以说是现代数学的最大进展之一（有人说，这也许是20世纪现代数学的最大进展）。

我们可以这么说：J.Keisler的这本《无穷小微积分》圆了300年前莱布尼兹（Leibniz）的”梦“：在微积分中引入一种”理想数“（作为无穷小），填补微积分逻辑推理的不足。我们不能小视这本基于无穷小概念的微积分教材，其中的思想和观念是相当严肃的，具有非常深刻的历史背景。在现代微积分教学过程中，要不要继续扩大实数系是一场严重的思想交锋，甚至是”你死我活“的斗争。当前的实际问题是：一本可以自由免费下载的《无穷小微积分》（网络电子版）已经摆在了我们的面前。我们该怎么办？

说明：在存在”无穷小“的环境中，函数连续性该如何定义呢？且听下回分解也。