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在实数系R平台上,有许多”理论”,里面有许多“说法”,在形式上,表现为抽象的一阶逻辑“句子”(Sentences)集合(简称“句集”)。实数系R上的这种“句集”记为∑。我们把括号(R,∑)称作是一种数学结构的“模型”(Model),确切地说,∑是实数R上的“理论“。
句集∑有各式各样的模式,一般非常复杂,是不是能够”自圆其说“都是问题。一般而言,如果先给定一个“句集”∑,它是否能够算是某个数学结构上的描述“体系“(或“理论”)?这确实是一个大问题。句子集合∑里面只有几个一阶逻辑句子,问题还好办,问题不算很复杂。但是,谁知道句集∑里面有究竟多少句子呢?数理逻辑的模型论分支就是专门研究这类问题的。
模型论中的所谓“紧致性定理”(Compactness Theorem)是指:句子集合∑有模型的充分必要条件(ifand
onlyif)是∑的每一个有限子句集均有模型。(这就好办了,把无限的问题转化为有限问题处理),到此,问题就好办了。我们设想,∑就是传统微积分理论所构成的句集,我们先让其固定不变,再假定ε是一个新数字符号,在句集∑里面再追加一批新句子,例如:0<
ε < 1/n, 而n= 1,2,3,4,5,......m是自然数,如此,构成了一个新的句集*∑。我们问:这个扩大了的*∑有没有模型?根据上述“紧致性定理”,*∑的每一个有限子集均有模型(想一想,为什么?),因而,*∑必有一个模型,比如说*R,而该模型*R里面含有无穷小”ε“数字符号。上述的那个“为什么”就是1960年美国A.Robinson研究工作的核心,在*R上搞无穷小微积分(实质上就是在*∑上)就是1976年J.Keisler的“成就”。(提示:对*∑的每一个有限子句集,适当选择ε的大小数值,即可使其满足要求,比如:0<ε<1/2,0<ε1/7,......等等。)
由此可见,模型论的“紧致性定理”是无穷小微积分的理论依据。我们问,“紧致性定理”的证明难不难呢?利用所谓“超积”技术不难证明,但是,那是技术细节性的问题了,我们以后再说。把无穷小严格地请进现代微积分,建立现代微积分大厦,那就是J.Keisler的功劳。我连个无穷小微积分“小号手”的资格都不够,在旁边吹吹风就是了。
当前,在我们国内建立一个专门的微积分教学网站是有现实意义的,有利于微积分的学术研究与教学改革。网站域名已经批准,目前正在审批过程之中,还有十来天即可“开通”。在此,顺便说一句,我不想超越J.Keisler教材一步,我只是想原汁原味地把无穷小微积分引进到我们国内。我不可能超越J.Keisler的认识高度,这是明摆着的事实。数学不是玄学,不能越搞越玄乎。但是,无穷小微积分教材与国内相关微积分教材存在一定的“差距”,可能“水土不服”。这是事先需要估计到的。该微积分教学(维基般的)网站是我们共同拥有的一块”园地“,不是我个人的“一言堂”。有人不喜欢无穷小微积分,尽管闭上眼睛,呆在原地不动就是了。该网站的开通是对传统微积分旧秩序的挑战。
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