超越实数系构建微积分已经不再是梦想

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请看以下相片：

这是当代最多产的数学家Saharon Shelah的近照。截至到2012年，S.Shelah共计发表1,000多篇数学论文（其中220篇是与别人合著）。S.Shelah生与1945年7月3日，国籍以色列，其师M.Rabin是知名计算机科学家，图林奖获得者。

S.Shelah的要研究领域是数理逻辑及其模型论分支。2004年，他与俄罗斯数学家V.Kanovei解决了一个大难题：与构建实数系R一样，直接构建超实数系*R，避开了非常抽象的模型论紧致性定理。请见：“A definable nonstandard model of the reals”（发表于J.Symbolic Logic Volume 69, Issue 1 (2004), 159-164.）至此，笼罩在超实数系*R上的乌云终于飘散了（J.Keisler在”无穷小基础“一书中，特别提到这一工作）。

如果站在今天这个历史的”时间点“来看问题，我们终于可以说：莱布尼兹头脑中的”无穷小“，现在终于有了严格的数学处理方法，以至于J.Keisler这么说：”Robinson called his method non standard analysis because it uses a non standard model of analysis. The older name infinitesimal analysis is perhaps more appropriate.“在这里，J.Keisler向读者表达的中心意思是：既然S.Shelah可以直接构建超实数系*R，不用实数系R的”非标准模型“，那么，把”非标准分析“称为无穷小分析也许更为合适一些。由此，我们可以说：超越实数系R，构建基于超实数系*R的微积分已经不再是梦想。”非标准“（即”不标准“，有点贬义）的”帽子“（作为前置词定语）应该拿掉了！