在公理化的大道上，无穷小微积分在茁壮成长

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所谓“茁壮”就是健康的意思。在过去的150年里，数学的公理化程度有明显的提高，表现在许多方面，比如，关于实数系的研究领域。有人会问：实数系（即“连续统”，Comtinuum）也能够公理化吗？听起来，这个问题有些怪怪的。为什么？

实数系（又叫“连续统”）是什么？实数系是用来对物理量进行“度量”的基石，我们必须搞清楚。用数学术语来讲，实数系就是所谓“德得金（Dedekind)完备有序域”。什么是实数系的”完备性“？通俗地讲，就是要保证任何物理度量过程不会”落空“，也就是说，度量过程的最后读不出“数据”来。那么，我们该怎么办呢？

1870年前后，大数学家德得金提出一条关于实数系”完备性“公理：”any nonempty set of real numbers with an upper bound has a least upper bound.“即每一个非空有界实数集必定有一个最小的上界。这条公理的特点是，对“每一个非空有界集合”来说的。这就麻烦了。也就是这条公理在限量词”∀x“后面要作用到”集合“层次，而不是集合的”元素“。这就涉及到所谓的”二阶逻辑“了。但是，我们希望留在一阶逻辑的研究领域里，于是，模型论Lowenheim-Skolem定理告诉我们：”any axiom system for the reals admits other models, including both models that are smaller than the reals and models that are larger.“也就是说，任何关于实数的公理系统必须”接纳“（admits）别的”数学模型“，在该模型中包括无穷小与无穷大的实数。也就是说，在这种“物理连续统”里面，出现了一种新型的“理想数”无限接近地伴随着原有的实数，此举，并不影响物理量的实际度量程序。

1976年，J.Keisler对此首先做出了”响应“：创建了无穷小微积分，随后，在2000年又将”无穷小微积分“电子版教材”上线“，供全球公理化”粉丝“们阅读学习。这种无穷小微积分教材的教学效果到底怎么样呢？你只要打开这本电子书（只需3秒钟），将光标随便指向哪一个章节，进行快速浏览一下，你必定发现：该书内容安排绝对”独树一帜“，很有趣味。在这本电子书中，作者似乎”胸有成竹“，总是慢慢地”一一道来“，不怕你反驳。如果你问他为什么要这样说？他会对你说出一长串非常有趣的”故事“。围绕无穷小微积分背后的人与故事其实就是整个的现代数学的发展史。在美国”微积分改革运动“中，无穷小微积分已经开始在茁壮成长之中。

说明：昨天，我让孩子从网络上为我订购了同济大学”高等数学“（上、下册），估计明日送到。此刻，我感到好奇的是，该书的作者们对数学的公理化进程抱有什么杨的看法呢？一个伟大国家的下一代就在”糊涂“中成长（指在数学方面）？......天啊，我不敢再想下去了。