有关欧几里德（Euclid）几何原本的感想

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在公元前，欧几里德“几何原本”出现了，标志着数学公理化进程的开端。实际上，几何原本的内容包括了现代的代数与数论，只不过用几何语言表述罢了。可以说，数学公理化的历史进程十分久远，绝对不是某个现代作家心血来潮、突发奇想的结果。

凡是受过普通教育的现代人几乎都还记得几何公理的魅力。这是老祖宗欧几里德的功劳，我们不可忘记。1976年，j.Keisler在无穷小微积分教材中，模仿（效法）老祖宗，给出了微积分学的公理化陈述，不算“出格”。微积分（实数系）有3组公理如下：

一、代数公理：

A. 封闭律：0与1是实数。如果a与b是实数，则a+b，ab以及-a均为实数；

B. 交换律：a+b= b+a ab = ba

C. 结合律：a+(b+c)= (a+b)+c a(bc) =(ab)c

D.单元律：0+a= a 1a = a

E.逆元律：a+ (-a) = 0 a 1/a = 1 (a≠0)

F.分配律：a(b+ c) = ab + ac

定义：正整数是：1，2=1+1，3=1+1+1，4=1+1+1+1，

二、次序公理

A. 0 < 1

B. 传递律： 如果a< b以及b< c，则a< c

C. 分配律：a< b a = b或b< a，其中只有一个式子成立

D.加法律： 如果a< b则a+c< b+c

E.乘法律： 如果a< b，而且0< c，则ac< bc

F..求根律：如果a> 0，对于任意正整数n，存在一个实数b，使得b的n次方等于a

三、完备公理：如果A为实数集合，其中x，y属于A，而且x与y之间的任何实数均属于A，则A为一个实数区间。

据此，J.Keisler说，利用前两组公理可以构建无数的“表达式”与“陈述句”（用等式或不等式连接两个“表达式”即可组成“陈述句”）。微积分的全部内容就是“陈述句”的大集合，其他“空话”均不相干。实质上，模型论就是：代数+逻辑。无穷小微积分就是由数理逻辑模型论所导演的一门数学基础学科。由此构建的无穷小微积分与欧几里德几何学一样，是一个逻辑推理体系，全部数学结论（定理）都是由公理推导出来的。

现在，无穷小微积分才开场（热身运动），高潮还在后面。