合理定义函数的极限，顺应思维的逻辑顺序

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关于函数的极限定义，如果用（ε，δ）语言来说的话（参见《高等数学》教材第32页）就是：

定义：设函数f(x)在a的某一去心领域内有定义，如果存在常数A，对于任意给定的证数ε（不论它多么小），总存在正数δ，使得当x满足不等式0<┃x- a ┃< δ时，对应的函数值f(x)都满足不等式

┃f(x)– A┃ < ε，

那么常数A就叫做函数f(x)当x⇢a时的极限，记作

lim f(x) = A （当x⇢a)

或 f(x)⇢A (当x⇢a)

我们问，在如此复杂的函数极限定义里面，符号f(x)究竟代表函数f还是函数f的函数值f(x)？为什么表达式

f(x)⇢A (当x⇢a)中的前提条件“当x⇢a”必须放在结论”f(x)⇢A“的后面？这么做符合人的思维逻辑顺序吗？定义中出现了两个哑巴变元ε，δ的必要性何在？为什么δ一定要依赖于ε？这些问题困惑了不少学生。

打开电子书”Elementary Calculus”，查找索引栏目，找到极限的定义（第283页）：

Defimition of Limit

Thee quation

lim f(x) = A (注：在极限符号lim的下方有x⇢a表达式）

means that whenever a hyperreal number x infinitrly close to but not equal to a，f(x) is infinitely close to A.

用中文表述就是，当x无限趋向a时（但不等于a)，函数f有极限A，就相当于（或等价于）在无穷小微积分中的如下说法：如果超实数x无限接近于但不等于a时，那么，函数值f(x)无限地接近于A。按照这种说法，两个哑巴变元ε，δ都不见了（即不是必要的），思维的逻辑次序也顺当了。

我国是一个伟大的国家，每年都有数百万学生在课堂上接受（ε，δ）洗脑（训练），被弄得疯疯颠颠的（思维颠倒），很是受罪。在美国，有不少人悟出了这个道理，勇敢地放弃了（ε，δ）说教，师生大解放，显得非常轻松自信。“十一五”国家级规划教材《高等数学》，坚守（ε，δ）老套路，拖了国家科技发展（对人才的需求）的后腿，使我们的普通高等教育缺乏新鲜思想与创新活力。我们应该认为，引入超实数*R是数学发展的必由之路，而不是什么个人的喜好（或偏爱）。

说明：昨天，我在短文中把接受《高等数学》（ε，δ）洗脑的学生叫做“小糊涂蛋”，很抱歉。其实，在我的语汇里面，“小糊涂蛋”是一种爱称，没有丝毫贬义。人老了，有时就会犯糊涂，不问人间之是非。