无穷小积极备战，迎接2013年全国考研

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大家知道，元月5日至6日就是2013年全国考研的日子。这次考研的参考人数高达165.6万，其规模之大，前所未有，可谓世界第一。

去年无穷小报名晚了一些（报名号太小），但是，今年还是想试一试，看看自己的运气。无穷小对于选择题与填空题”胸有成竹“，丝毫不怕。但是，对于解答题心中没有底，怕露出了马脚，担心考官看不明白。无穷小的“囊中宝”如下：

Chapter1. The Hyperreal Numbers. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 1

1A.Structure of the Hyperreal Numbers (§1.4, §1.5) . . . . . . . . . .. . . . 1

1B.Standard Parts (§1.6) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1C.Axioms for the Hyperreal Numbers (§Epilogue) . . . . . . . . . . . .. . 7

1D.Consequences of the Transfer Axiom . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 9

1E.Natural Extensions of Sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 14

1F.Appendix. Algebra of the Real Numbers . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 19

1G.Building the Hyperreal Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 23

Chapter2. Differentiation. . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2A.Derivatives (§2.1, §2.2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .

2B.Infinitesimal Microscopes and Infinite Telescopes . . . . . . . . . .. . .

2C.Properties of Derivatives (§2.3, §2.4) . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .

2D.Chain Rule (§2.6, §2.7) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . .

Chapter3. Continuous Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .

3A.Limits and Continuity (§3.3, §3.4) . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .

3B.Hyperintegers (§3.8) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . .

3C.Properties of Continuous Functions (§3.5–§3.8) . . . . . . . . .. . . . . .

Chapter4. Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .

4A.The Definite Integral (§4.1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .

4B.Fundamental Theorem of Calculus (§4.2) . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .

4C.Second Fundamental Theorem of Calculus (§4.2) . . . . . . . . . . .. .

Chapter5. Limits . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 71

5A.ε, δ Conditions for Limits (§5.8, §5.1) . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 71

5B.L’Hospital’s Rule (§5.2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

Chapter6.Applications of the Integral . . . . .

InfiniteSum Theorem (§6.1, §6.2, §6.6) . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .

Lengthsof Curves (§6.3, §6.4) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . .

ImproperIntegrals (§6.7) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .

Chapter7. Trigonometric Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . .

7A.Inverse Function Theorem (§7.3) . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .

7B.Derivatives of Trigonometric Functions (§7.1, §7.2) . . . . . . . .. . .

7C.Area in Polar Coordinates (§7.9) . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .

Chapter8. Exponential Functions .. . . . . . . 99

8A.Extending Continuous Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 99

8B.The Functions ax and logb x (§8.1, §8.2) . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 100

8C.Derivatives of Exponential Functions (§8.3) . . . . . . . . . . . .. . . . . . 102

Chapter9. Infinite Series . . . . . . . . 105

9A.Sequences (§9.1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

9B.Series (§9.2 – §9.6) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

9C.Taylor’s Formula and Higher Differentials (§9.10) . . . . . . . .. . . . . 110

Chapter10.Vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

10A.Hyperreal Vectors (§10.8) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 115

10B.Vector Functions (§10.6) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 118

Chapter11. Partial Differentiation . . . . 、.. . . . . . . . . 121

11A.Continuity in Two Variables (§11.1, §11.2) . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 121

11B.Partial Derivatives (§11.3, §11.4) . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 122

11C.Chain Rule and Implicit Functions (§11.5, §11.6) . . . . . . . . .. . . . 125

11D.Maxima and Minima (§11.7) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 128

11E.Second Partial Derivatives (§11.8) . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 133

Chapter12. Multiple Integration . . . . . . . . . . . . 137

12A.Double Integrals (§12.1, §12.2) . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 137

12B.Infinite Sum Theorem for Two Variables (§12.3) . . . . . . . . . . .. . . 140

12C.Change of Variables in Double Integrals (§12.5) . . . . . . . . . .. . . . 144

Chapter13. Vector Calculus. . . .. . . . . . . . . . . . . . . . .151

13A.Line Integrals (§13.2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 151

13B.Green’s Theorem (§13.3, §13.4). . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 154

Chapter14. Differential Equations . . . . . . . . . . . . . . 161

14A.Existence of Solutions (§14.4) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 162

14B.Uniqueness of Solutions (§14.4). . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 167

14C.An Example where Uniqueness Fails (§14.3) . . . . . . . . . . . . .. . . . . 171

Chapter15. Logic and Superstructures . . . . . . . . . 175

15A.The Elementary Extension Principle . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 175

15B.Superstructures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

15C.Standard, Internal, and External Sets . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 184

15D.Bounded Ultrapowers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 189

15ESaturation and Uniqueness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . .194

据说，今年考研的试场管理特别严格，但是，任何先进的电子设备都不可能把无穷小检测出来。乌呼！