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在上世纪1930至1970这段时间,数理逻辑模型论取得了快速的发展,比如:哥德尔,A.I.Maltsev,
Le,onHenkin, Abraham Robinson,
以及Alfred Tarski等人的先锋工作。很明显的事实是,在这段时间里,我们掉了队。
实际上,A,Robinson在1960年的秋天就发现了非标准分析模型,这本学术专著发表于1966年。1976年,J.Keisler发表《初等微积分》。1986年第二次修订发行。2000年又发行该书的电子版。
早在30多年前,《初等微积分》就引入了公理化系统,比如,代数公理,次序公理、比如,在该书电子版的45页,作者给出斜率的定义如下
S is said to be the slope of f at a if
(*)
S= st((f(a+∆x)–
f(a))/∆x)
for every nonzero infinitesmal ∆x
在这个定义中,“for
every nonzero infinitesmal ∆x”在这里,∆x是实实在在的无穷小量。由此,导函数f',以及函数的微分f'dx(dx=∆x)也就相应的引导出来了。假定有一个闭区间[a,b],我们将其无限等分,得到无限多个“分点”,做出黎曼和,再取其标准部分,即
导函数f'在[a,b]上的定积分等于st(∑f'(x)dx)
由此可见,引入无穷小以及无穷大,微积分的体系结构得以大大简化。
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