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给定序列:
…. a1,a2,...an,......
(1)
其极限(与收敛)问题,如果运用传统的(ε,N)方式解决,必须“兜圈子”,动用三个限量词(∀∃∀),请见《高等数学》第26页,在此不提。如果转向超实数*R,(1)式中的“足标”n可以取值”超正整数“(Hyperinteger)H,也就是说,通项aH是有定义的。那么,问题就好解决了。我们只要观察或证实aH是否“落入”某一个单子内即可。这是不难做到的事情。
在J.Keisler撰写的《基础微积分》第9章第1节(p492)里面,将超正整数H直接带入序列(1)的通项,三下五去二,许多问题就解决了。对此,有人出来大呼:这不能算数!或者说,H不是“自然数”!那么,自然数又是什么呢?就是:1,2,3,...?这岂不是成了现代类人猿吗?我几乎天天唠叨无穷小,而忽视了无穷大。
我为何着急呢?因为,国内每天有300多万在年轻学子在苦读”经书”,死记硬背(ε,δ)或(ε,N)教条,耗费着大好青春时光。有人担心,从n到H是个“门槛”,是个思想的飞跃。中国的孩子们跳不过去。我看到,现在国内的”90后“,不论男女,都长得像个“小牛犊”,浑身是劲。怎么就跳不过去?难道这批牛犊的脑子发育不全?那么,你学校是干嘛的?
实际上,引进超实数极大地简化了微积分的教学。这是事实。有没有学校或老师愿意试一试呢?有人说,二、三十年前“非标准分析热了一阵”,没有成功。我已经说过几次,那是某些人的“过错”,包括我本人。现在我不是出来认错了吗?有人说,你怎么还不去死呢?大概时间还不到吧?人老了,就讨人厌了,我会适可而止的。
级数是序列的一种形式,处理方法与此类似。微分与积分也差不多。总之,超实数为微积分“瘦身”,效果确实不错。
说明:近日,我感冒了。今天就此搁笔。抱歉!
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