微分几何为何必然兴起？

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对于一般人而言，欧氏几何（Euclid Geometry）算是”老生常谈“，不屑一顾。现在，学习了微积分之后，应该洗洗脑筋了。为什么？

大约在1860年前后，德国数学家黎曼（Bernhard Riemann，1826.9.17-1866.7.20)敏锐地发现，存在以下三种几何情况：

在椭球面上的三角形的三内角之和大于两直角，而双曲面上的三角形内角和小于两直角，只有在平面上欧氏几何有关三角形的的”三内角之和等于两直角“定理才能成立。于是，黎曼陷入了曲面几何学的”痴迷“状态，彻底抛弃了欧几里德老祖宗的“教训”。......数学上的“变革之花”，百年少见也。

在光滑曲面上搞几何学研究就要利用多元微积分学的理论知识与方法。为此，黎曼建立了一套概念体系与度量方法，把微分概念用到了“极致”。其中的核心思想是在曲面上的每个点的领域内建立一个”切空间“（Tangengspace），利用所谓“微分二次型”研究曲面的局部性质。由此，微分几何学出现了。

后人把这种曲面几何叫做黎曼微分几何。德国物理学家洛伦兹（A.Lorentz，1853.7.18-1928.2.4)把黎曼几何用来描述“物理时空”，提出所谓“洛伦兹变换”。在上世纪初叶，物理学与数学遇到“理论危机”，结果导致爱因斯坦相对论与公理化集合论和模型论的建立。

在爱因斯坦创建相对论的过程中，在推导一个洛伦兹变换公式时，意外地发现“质能转换”公式：E= mC平方，导致一场人类思想史上的大变革。由此，核能利用开始了，比如，火星车”好奇号“的同位素核电池。

现在，有人每逢谈起几何学，往往就是“规尺作图”问题，而不提黎曼有关曲面几何的开创性工作。这是很不公允的。在现代微积分学的教学中，不提哥德尔（Godel)的不完全性定理以及A.罗宾逊的非标准分析也是非常短视的行为。在一些人的脑壳中，微分的概念总是“软软的”，似乎飘忽不定。微分到底是什么？看看黎曼是怎么用的就知道了。现代无穷小的概念也是一场数学思想的大变革。现在，我们就生活在未来的历史之中，只是我们不能自知而已。