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导数与微分是什么?真不好意思,这种老问题还要摆在桌面上来谈。但是,又不得不说一下。
在超实数*R系统里面,函数f在一点a的斜率S是最基本的概念,其定义如下:
S = st((f(a+∆x) - f(a))/∆x)
其中符号”st”表示取标准部分函数,∆x是任意的非零无穷小。
在J.
Keisler撰写的《基础微积分》第二章第2.1节(第45页),将函数f的导数(Derivative)定义如下:函数f的导数是指一个新的函数f',其在点x的值(Value)等于函数f在点x的斜率(Slope),即:
f '(x)= st((f(x+∆x) - f(x))/∆x)
只要斜率存在。注意:这里根本没有所谓“导函数”的概念。导函数就是导数。求导数的法则就微分法(Deferentiation)。
在《基础微积分》第二章第2.2节(第55页)给出函数微分的定义:
假定函数表示为y=f(x),则称新函数dy=f'(x)∆x是该函数的微分(Diferential)。由于∆x是无穷小,而且∆x=dx,上式也可以记为:dy=f'(x)dx。当dx不为零时,上式可以表示为:
dy/dx= f'(x)
注意:在这里,dy/dx是一个比值,而不是一个代表导数的整体记号。
由此可见,微分学的基本概念就这么几句话就交代清楚了。相比传统微积分确实简单多了。这样做有什么好处呢?事实证明,这样做可使整个微积分学的各个定理(包括牛顿-莱布尼兹定理)的陈述方式变得特别自然与简单。我们何乐而不为之?
之所以如此简化就是因为引入了超实数系*R。那么,无穷小与无穷大的演算方法呢?那就别提有多简单了,如同小学生做算术一样。一本微积分教科书变成了几页A4纸,呜呼!
学了无穷小微积分是不是可以抛弃传统微积分学呢?现在还不行。在我国的考研还需要传统微积分,无穷小微积分只能作为一种配角,是一种辅助手段。如果不考研的话,那就不用顾及这些事情了。实际上,无穷小微积分与传统微积分两者在理论上是完全等价的(if
and only if),只是所依据的数学模型不同,本质上来讲,两者没有大的区别,只是一简一繁而已。
当务之急,就是翻译J.Keisler的著作,使其成为中、英文对照电子版,方便广大读者的研读。翻译不能是”意译“,不能走样儿。要原汁原味地把基本精神与风采传播进来,教育我们的下一代。无穷小演算是公理化数学的必然产物,是正宗,是正统,不是旁门左道。
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