集论几何学定理：一个球变成两个球

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初看上去，这个定理确实荒唐，一个球体怎么会变成两个球体？这岂不是把一个西瓜变成了两个西瓜？实际上，这是一条数学定理，请不要少见多怪。

请看下图所示：

这条几何学定理叫巴拿赫-塔尔斯基（Banach Tarski）定理，是1924年发表的。Tarski就是无穷小微积分作者J.Keisler的博士论文指导老师。

该定理是说，可以将一个刚性球体剖分为许多小块，使这些小块在空间中发生旋转（Rotation）与位移(Translation)，而保持体积、形状不变，然后可以拼装出两个体积大小完全相同的刚性球。完全类似地，两个球变4个球，......如上图所示。这岂不怪栽？

1904年，Ernst Zermelo为证明”良序定理“（Well ordering theorem）把选择公理引入数学。实际上，良序定理等价于选择公理。自然数就是良集合。由此可见，微积分离不开选择公理。回顾历史，在1908年，Zermelo首先创立了公理化集合论，直到1922年，经过Abraham Fraenkel的补充，形成了公理化集合论的公理系统ZF，后来加入选择公理，最终成为正式的集合论ZFC公理系统，由此建立起整个现代数学的大厦。

实际上，巴拿赫-塔尔斯基定理是选择公理的自然推论。也就是说，将刚性球剖分为无数的碎片，形状怪异，不可测度，然后，利用选择公理AC（Axiom of Choice)将其拼装成两个同样的刚性球。简单地说，选择公理保证：在一个集合族里面，从各个集合中各选取一个元素，这些元素可以构成一个新的集合。

在数学上，连续统假设CH，不真也不假，而选择公理AC，既是真的，又是假的（因为AC能够推出一个球变成两个球的怪论）。有人说，我们放弃选择公理AC行不行？不行，放弃了选择公理AC，数学将变得更加奇怪。数学存在这种毛病，大家见怪不怪也。

上述巴拿赫-塔尔斯基定理还可以推出更奇怪的结论：一颗豌豆可以变成硕大无比的太阳。现代数学的这个毛病，我们不要当众宣传，免得让数学家们丢面子。在这里，我只是悄悄地说话，而不是大声地嚷嚷。谈到这里，在同学面前，我有点不好意思了。

说明：A.Robinson的非标准分析（NSA）就是在ZFC大树上发出的新树枝，J. Keisler的无穷小微积分是更细小的嫩枝丫。我们想把中国的微积分教育移植到ZFC大道上，溯本清源，使其名正言顺。