最伟大的无穷小斗士（Champion）--欧拉

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欧拉（Leonhard Euler,1707-1783）是一位伟大的瑞士多产数学家，以下这张“复平面“上的示意图可以算是他的代表作：

数学常数e=2.71828......就是欧拉首次引入数学的，因而也叫做“欧拉常数”，作为自然对数的“底”（Base)。虚数单位的符号“i”也是欧拉引入数学的。上图显示的数学公式将指数函数与三角函数美妙地联系在一起，可以说，该公式代表了人类数学智慧的一项“杰作”。这个公式是怎么推导出来的呢？

在十六世纪中叶，牛顿与莱布尼兹大量使用无穷小量进行数学推理与创作，留下了不少数学”瑕疵“（指数学推理的不严谨性）。1734年，英国大主教Berkeley据此讥讽无穷小是”The ghost of departed quantities”(“逝去量的鬼魂”），使无穷小颜面扫地。但是，到了1748年，欧拉不为所动，仍然坚信无穷小是存在的，而且其运算特性如同有限数一样，继续使用无穷小方法进行数学创作。

法国大数学家拉普拉斯（Laplace，1749-1827）评论欧拉对世界数学界的影响时说："Read Euler, read Euler, he is the master of us all."（”阅读欧拉，阅读欧拉，他是我们大家的老师“。）

根据文献记载，在1748年，欧拉仍然坚信无穷小是存在的，使用无穷小演算进行数学创作，证明了上述欧拉公式。其推理过程如下：

假定ω是无穷小量（Infinitesmal），考虑正数a的ω次幂，显然这个数无地限接近于1，因而，令其为1+kω。等式两边以底a取对数，得到无穷小等式如下：

ω = log(1+kω)。

这里，k是待定常数。然后，将其展开为幂级数，经过一系列的数学演算，最终得到欧拉常数e的计算公式（定义）以及上述著名的欧拉公式。十分明显，无穷小量在这里发挥了重大作用。据此，人们称欧拉为“The greatest champion of Infinitesmal”（最伟大的无穷小斗士）。