锋利的戴德金“刀”并没有耗尽直线上所有的几何点

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在欧氏几何中，直线是“Lenght without breadth”（有长度没有宽度），而且在直线上只涉及到有限多个“几何点”。这种观念，实际上很粗糙。

回顾历史，在十六世纪初期，法国大数学家笛卡尔首次把”数与欧氏直线上的“几何点”联系起来，提出“点”的坐标概念。但是，数与点相比，哪一种更为多一些呢？几何直线上的“点”够用不够用？老祖宗笛卡尔也搞不清楚。1872年，德国数学家戴徳金（R.Dedeking)发明了一种”理想刀“，对准欧氏直线进行”切割“（也叫“分割”），由此，戴德金发现了直线上存在“空隙”，于是，在有理数的“缝隙”处插入一种新型的数学对象，这就是所谓的“无理数”，比如，2的平方根。由此，数学家连“无理的”数“也引入到欧氏直线上了。

在菲氏《微积分学教程》的绪论中，也是这么做的，利用锋利的戴德金”刀“来分割直线，引入了无理数，从而，最终构造出”实数系R”。由此可见，其实”实数“（Real numbers）在数学上并不”实在“，不是真实的物理量（仅仅是其”替身“）。复旦大学编写的《数学分析》教材就把数学量与物理量搞混了。

2005年，莫斯科大学为纪念该校成立250周年重新出版了一系列”俄罗斯数学教材“名著，其中就包括了菲氏的《微积分学教程》。该书编者A.A.弗罗连斯基在序言中说：”该《教程》极少使用集合论的任何内容（包括记号），同时保留了叙述的全部严谨性。“还说：”该《教程》的内容是20世纪初最后形成的现代数学分析的经典部分（不含测渡论与一般集合论）。“反观我们国内的微积分教材，其实际水平还赶不上菲氏微积分。

进入上世纪下半期，集合论全面”亮相“，横扫一切。布尔巴基的”超滤器“替代戴徳金“刀”，进一步向古老的欧几里德直线挑战，认为戴徳金”刀“并未”穷尽“直线上的全部”几何点“，又挖出”单子“与”银河“等数学概念，重新构建了现代微积分学，把微积分彻底建立在集合论基础之上。

现在，要搞微积分学的袖珍电子书，有两条路可走：一是重返不用集合论的菲氏《微积分》；二是跟随J.Keisler的现代无穷小微积分（在数学上，做”跟屁虫“并不丢人）。是前进，还是后退呢？做出正确选择是很困难的。那些贪吃的猪头会说，要适应社会的实际，不能冒进。看起来，我倒成了一个”激进分子“，不敢不敢。老年人就得及早”休息“，让年轻人冲在前面，这样国家才能兴旺发达。