无穷小（Infinitesimal）是什么？

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在《基础微积分》的第一章第1.4节（第24页），作者J.Keisler谈及曲线斜率与物体运动速度问题时说，在这类问题中，我们需要有一种”small enough to be neglected“（足够的小以至于可以略去不计）的数字。我们大家知道，除非是实数0（数字零），没有什么实数可以因为足够的小而”略去不计“。那么，我们该怎么办呢？

数学家往往都是一批富有想象力的”呆子“，平日难于与人沟通。但是，数学家们是勇敢的人，他们不畏逻辑矛盾，遇到困难能够继续勇往直前。比如，他们敢于引入虚单位”i”，使其平方等于负1，真乃匪夷所思也。在微积分学里面，有时需要“足够的小以至于可以略去不计”的数字，这有何难？面对此种尴尬问题，数学家采取了一个大胆的步骤（“bold step”，这是根据J.Keisler的说法），继续扩大实数系，构造所谓“超实数系”（Hyperreals），引入以下不等式：

-a < ε < +a

此处，a为任意正实数，而新的超实数ε就是我们为严谨展开微积分学而需要的那种“足够的小以至于可以略去不计”的数字(即无穷小)。这种无穷小ε可以表示为：

ε = 0.000,000,238

也就是说，在0之后，紧接着有无限个数字0，最后还有个非零的“小尾巴“238，如此而已。无穷小有什么稀奇的？无穷小多的是！......遇到困难，（数学家）大胆地往前走！

引进了无穷小，微积分学就完美了。整个微积分学的理论体系得以极大的简化。为此，我原先想用”简易微积分“这个词，但是，网上一搜索，几乎把我气死了。原来在1983年，人民教育出版社出版了一本中等师範学校数学教材，书名就叫”简易微积分”。这次算我倒霉！今后，我再也不用“简易微积分”了，而改用“无穷小微积分”，特此声明。

根据上面的说法，在微积分学中引进无穷小似乎很简单，实际上，很不简单。构造超实数系*R，需要在有理数域上借助超滤器进行“等价分类”，与引进实数的过程（哥西等价分类）一样。无穷小超实数的真实性，不高于也不低于，普通的无理数，因为，引入它们都需要一个无限的过程。认为无穷小是后娘养的，对她翻白眼，很不公道。

3月1日，上海投资方与北京承办者达成协议，共同出资承办无穷小微积分网站，包括提供工作场地与计算设备，聘用新员工，对此，我心里面美滋滋的。但是，我心里面也有点儿“失落感”。无穷小就值这么几十万？现代无穷小理论把中国传统的科学根基微积分学“闹翻天”，意义十分巨大，不可低估也。