袖珍电子书：一元实函数的微分定义

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在传统微积分学里面，函数的微分概念很重要。但是，转移到无穷小微积分学之后，微分失去了它原有的”光彩“，消失不见了，由此可见，仅依赖导数来展开无穷小微积分学即已足够。此话当真？

在J.Keisler《基础微积分》第一章第一节第45页有这么一句话如下：

“The process of finding the derivative of f at a is called differentiation（微分法）.We say that f is differentiaable（可微分）at a if f'(a) is defined:i.e. the slope of f at a exists.”这里的中心意思是：函数可导即可微分，把求导与可微分两者紧密联系起来。

如此以来，怎么展开无穷小微积分学呢？给定函数f，由此引入一个公式：y=f(x)，此处，x叫做独立变量，y叫做非独立变量。考虑独立变量x的无穷小增量Δx，由此导致非独立变量y的无穷小增量Δy，因而有以下公式：

y'= st(Δy/Δx)，

也就是说，Δy/Δx= y'+ ε，此处，ε为某一无穷小。所以，我们有下式：

Δy= y'Δx +εΔx

这个公式在无穷小微积分学里面足够用了，道理自明。

实际上，J.Keisler在《无穷小微积分基础》第二章第一节第34页针对公式y= f(x)给出了非独立变量y在x处微分（differential）的正式定义，即：

dy= f'(x)dx

此处dy称为y在x处的微分，并且dx与dy都是无穷小。

在传统的菲氏《微积分学教程》里面，函数微分是由下式来定义，如果成立

Δy= AΔx + o(Δx)

当Δx作为基本无穷小，而o(Δx)是Δx的“高阶无穷小”，则AΔx称为y的微分（主要部分），记为dy，最后，我们得到常见的微分等式：dy=f'(x)dx。注意：在传统微积分学里面，dx与dy未必是无穷小（变量）。

有意思的是，在无穷小微积分与传统微积分里面都有相应的微分等式，外表看起来形式都一样，但是，在传统微积分里面dx与dy未必是无穷小变量。两者是否等价呢？所幸的是，在《无穷小微积分基础》第五章第一节第72页给出了两者等价的数学证明。

回到我们国内，“十一五”国家级规划教材复旦大学编写的《数学分析》第158页在给出函数微分定义时，竟然会出现以下等式：

Δy= f'(x)Δx + o(Δx) (Δx→0)

公式最右边的括弧(Δx→0)是什么意思？难道在传统微积分学的函数微分定义中，自变量增量Δx都必须趋于0？在定义函数微分时，菲氏老祖宗只是说，当Δx作为基本无穷小时，o(Δx)被加项是相对的高阶无穷小变量而已，根本没有必要令其趋于零！

同样地，“十一五”国家级规划教材同济大学编写的《高等数学》也存在类似的错误，在其第115页最上端竟然也有这样的说法：dy是Δy的线性主部(当Δx→0)。这个括弧完全是多余的。

关于微积分教学改革，首先是教材改革，其次是教员培训，缺一不可。这两本烂教材的作者，有愧于广大的在校学生，应该狠狠地打屁股，直到告饶喊救命。大批小糊涂虫走出校门进入社会，可不是一件好事情。