袖珍电子书：一元实函数的连续性定义

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无穷小微积分学引导我们前往何方？对于这类问题，拿来“考问”学生似乎不太合适。这是微积分学教员首先需要思考的问题，因为是教员引导着学生在走路，而不是相反。

对于进入社会的成年人，不论有何种学位头衔，如果你问他：什么叫微积分？他多半摇头不语，或是避而不答。这是什么原因呢？这个问题与微积分的教学目标有关。实际上，翻阅国内外的微积分学教材，几乎都是一个“套路”：实数、极限、连续、级数、导数、微分、积分，......导数微分概念似乎总要安排在函数的连续性之后才算合理。微积分教学改革就要打破这套“规矩”，使微积分更加适合人们的认识规律，容易进入脑壳，终生不忘。

对于在美国进行的微积分改革运动（CRM），J.Keisler撰写的《基础微积分》教材是有贡献的，该教材将导数概念置于函数连续性之前进行讲授，可谓“别具一格”，实质上，这是将微积分学引向正确的方向：研究连续、光滑的几何对象及其性质（注意：数学性质不同于物理性质，前者只是后者的抽象。）。

在《基础微积分》第三章第四节第125页给出函数连续性的正式定义：

DEFINITION

f is said to be continuos at a point c if:

(I) f is defined at c

(ii) whenever x is infinittely close to c ,f(x) is infinitely close to f(c).

初看上去，这个定义很平凡，没有什么稀奇之处。但是，转而一想，如果我们将定义中的点“c”运动起来，令其充满一个闭区间[a，b]，岂不是有了闭区间上的连续函数的概念？进一步，如果函数f在该区间内部处处可微分，光滑的连续曲线不就出来了吗？这种光滑、连续的曲线有什么性质呢？能不能加以严格的数学证明？其实微积分学的”结论“（定理）在你脑壳里面早就有了，直觉上是很显然的东西，只是重新给予了严格的数学证明而已。你怎么会忘记它呢？

有人担心，函数连续性在无穷小微积分学（超实数）里面很简单，但是，能不能”等价“回到原来的传统微积分学呢？这个问题不必担心，在《无穷小微积分基础》第五章里面，这些问题全部解决了，你大可放心学习、使用这种无穷小微积分学的新方法、新途径，将其应用到实际问题中，其真实性不比传统微积分高，也不比传统微积分低，只是更为适合我们的直觉思维习惯而已。

在函数连续性定义中，我们要注意的是：定义中的函数f是从实数系R转移到超实数系*R上的函数f的自然延伸（或扩张），应当在左上角加上一个星号”*“，也就是*f。按照我们的约定，在定义里面就把星号”*“统统省略了。当你习惯了在无穷小微积分学领地上驾车疯跑之后，无限风光在眼前，有新的发现，有新的体验，就顾不上老传统，老套路了。这就是推出”袖珍电子书“的目的，也许有人会说，这是”险恶“的用心。