袖珍电子书：向量（Vector）是什么？

<style type="text/css"> <!-- @page {margin:2cm} p {margin-bottom:0.21cm} --> </style>

在现实世界中，我们经常遇见的物理量，比如，引力场、电磁场等，如果仔细想一下，就不难发现一个事实：这些“量”发生作用的效果有两个方面（效应）：作用的强度与作用的方向。我们要时刻记住的是，数学本身并不直接研究物理量，而是给物理学家提供研究的工具与方法，比如，牛顿与莱布尼兹所创造的微积分学（原名叫“无穷小演算”，“Infinitesimal Calculus”）。

在均衡磁场中，物理空间中的每一点都有一种磁力的存在，有强度与方向。我们该怎么表示它们呢？在空间中，数学家发明了一种新型的“有向量”(简称“向量”)，与普通的“纯量”相对。这种“向量”充满整个空间，无处不在。它们的数学模型就是有向线段“族”（Family），好像是一把筷子，而不是一根筷子。这是一个基本概念。

数学家的具体做法如下：在坐标平面（我们先从平面入手）上，取定“点偶”（point pair）(P，Q)，称其为“有向线段”（directed line segment），P为“始点”，Q为”终点“，记为PQ。点Q的（x,y）坐标与点P的坐(x,y)标分别取”差”，分别称为该有向线段的两个”分量“（Component）。至此，没有任何含糊的地方。

在J.Keisler《基础微积分》第十章第一节第565页给出向量的定义如下：

DEFINITION

The family of all directed line segments with the same components as PQ will be called the vector from P to Q. We say PQ represents the vector.

定义（中译文）：

所有与PQ具有相同分量的有向线段组成的“族”称为从P到Q的向量。我们说，（有向线段）PQ代表了这个向量。

由于向量是一个具有相同分量的有向线段“族”，所以，我们可以说该向量具有长度与方向，适用于描述某些特定的物理量，比如电磁场的电磁力等。在这里，我们要记住的是：向量不是一根孤立的有向线段，而是一个“有向线段族”。

回到我们国内，奇怪的事情发生了。打开“十一五”国家级规划教材同济大学数学系编写的《高等数学》（第六次修订版）下册第八章第一节第1页，作者写道：“本章先引进向量的概念，根据向量的线性运算建立空间坐标系，然后......”。细观之我们不难发现，原来该教材所说的“向量”就是有向线段本身，而不是“有向线段族”。教材作者企图借助物理量直接构建空间坐标系，而不是借助抽象的数学坐标系给物理学提供研究工具（比如，向量），本末倒置也。三十多年来该烂教材培养了数千万微积分糊涂虫，该当何罪？由此看来，国内微积分学教材不改革是不行了。