袖珍电子书：关于连续函数的零点中值定理

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当今，数学的进步并没有停止，比如，合理地利用“无穷数”便是一例。无穷数包括无穷小与无穷大（两者都是”理想数“，但不是”梦中数“）。

大家知道，以往数学家喜欢使用记号“∞”来表示无穷的数量。但是，在《基础微积分》电子版教材在第三章第八节第160页上给出一个超整数的定义

DEFINITION

A hyperinteger(超整数)is a hyperreal number y such that y=[x] for some hyperreal x.

此处，[x]表示不超过超实数x的最大整数，比如，用H、K表示超整数。在一般人看来，H、K是非常、非常大的整数（当然，也有负的超整数），存在于符号”∞“之中。它们有什么用呢？

《基础微积分》电子版在第三章第八节第162页给出一个有关连续函数的“中介值定理”（Intermediate Value Theorem，也叫Bolzano零点定理，出现在1817年），定理的原文叙述较长，在此省略，中心意思是：函数f在闭区间[a,b]上连续，且f(a)<0，f(b)>0，那么，“f has a zero(零点)in the interval (a,b),that is,f(c)=0 for some real c in (a,b).”

这是一条非常重要的基本定理，因为，连续函数的其他属性均出自这条基本定理。很不幸的是，同济大学《高等数学》第一章第十节第71页对此定理“不予证明”；复旦大学《数学分析》第二章第五节第89页对此定理（“零点存在定理”）也不给予数学证明，只有菲氏《微积分学教程》在第一卷第二章第五节第137页给出两种数学证明（几乎用去3个页面）。

在《基础微积分》电子版中，J.Keisler巧妙地给出了给定理的一个严格的无穷小“证明”，大意如下：我们将区间[a,b]无限地细分成长度均为无穷小δ的子区间，分点分别是a,a+δ, a+2δ, a+3δ,......那么，必然会出现以下情况：

f(a+Kδ)< 0 < f(a+(K+1)δ)

这里，a+Kδ是最后（last）那个使上式成立的“分点”，K是一个很大的超整数。现在，令c=st(a+Kδ)，c是实数。根据f在[a,b]上的连续性，f(a+Kδ)≈f(c)，而且，f(a+(K+1)δ)≈f(c)，也就是说，既要求f(c)小于或等于零，同时，又要求f(c)大于或等于零，所以，我们只有f(c)=0的一种可能性。证毕。

由此可见，无限地接近关系“≈”与取标准部分函数“st”是无穷小微积分的两个“法宝”，如今有了超整数H、K的帮忙，无穷小微积分就几乎“无所不能”了。中国的孩子不比俄罗斯的孩子笨，完全能够掌握无限地接近“≈”的概念与学会操作代数运算“st”，只要他们敢于接受无穷小以及超整数H与K的观念。乌呼！

说明：本文想表明的是，不懂得连续函数“零点定理”的证明，不知道一只小蚂蚁从园的内部爬出去必须通过圆周的道理，是一种思想上的“缺陷”。