袖珍电子书：关于数学常数0、1、π、e与i

<style type="text/css"> <!-- @page {margin:2cm} p {margin-bottom:0.21cm} a:link {} --> </style>

在人类的数学知识中，总共有5个数学常数：0、1、圆周率π、欧拉数e与虚单位i。假定好奇号遇到有智慧的火星人，它们也必定懂得这5个数字的意义。当然，人类的宠物，比如，聪明的小狗狗，只认得0与1这两个数字。

我们大家都知道，0、1、圆周率π和虚位i的来历及其具体含义，但是，对欧拉数e（Euler'snumbere）为什么是一个数学常数就有点不甚了解（或明白）。假定火星人也不明白欧拉数e的意义，那么，我们可以断定它们很笨，其文明程度与中世纪的人类差不多。这是为什么呢？

回顾历史，大约在16世纪末，JacobBernoulli发现乘幂

（1+1/n)ⁿ

^{当n趋于无限大时极限存在。但是，这个极限的数值究竟是什么？在当时，人们并不知道。直到1736年，“the first appearance of e in a publication was Euler's Mechanica(1736)”，也就是说，在历史上的公开刊物中，用小写字母“e”来代表这个极限的是瑞士大数学家欧拉（Euler）。在当时，欧拉计算出数字e的精确值达到小数点后面的23位。在当时情况下，做到这一点是很不容易的事情。}

^{欧拉是怎么计算出这个极限的呢？根据歌德布拉特《超实讲义》第9页的说法，欧拉当时用一个无限大的数字“j”直接带入以上的乘幂，然后展开，消除无穷小项，最后得出e的无穷级数表达式，即}

^{e = 1+1/1!+1/2!+1/3!+1/4！+......}

^{由此可见，在三百多年前，人们并不惧怕使用无穷大与无穷小的“虚构”数字，并且取得了许多极重要的数学成就。这就是微积分学的历史！}

^{自此以后，人们精确定义了指数函数y=exp(x)，而且证明了恒等式：y'=y。撇开这段历史，指数函数怎么能够讲得清楚呢？把话说明白了，有关欧拉数e的文明程度远远高于圆周率π的文明程度。现在，小学生也能懂得圆周率π的来历，但是，对于欧拉数e就不甚了了。人类对于欧拉数e的探究至今并没有停止，在2011年7月5日，使用大型计算机算出了欧拉数e精确值的精度高达1,000,000,000,000位。在实际生活中，我们知道e=2.71828就足够用了。}

^{本文的中心思想是，企图避开微积分（初步）向中学生讲解指数函数是徒劳无益的。现在，我们已经进入了二十一世纪，把微积分初步下放到高中教育阶段的时机业已成熟了。该做的事情不去做，就是“当官不为民做主”，此乃“不为”也。国家建设需要大批真正懂得欧拉数e的技术人才，单靠圆周率π，解算三角恒等式，脑壳里面空荡荡的，只会耍滑头，比不上俄罗斯的北极熊。}