我国中学微积分（Calculus）教改走进死胡同

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2011年3月10日，人民教育出版社《高中数学》发表署名文章，题为“高中新课标函数与微积分有关内容的处理研究”，很有代表性，影响面很广。

该文作者说：极限概念是自始至终贯穿于微积分和数学分析学科的重要概念，微积分和数学分析几乎可以看成是一门研究“极限论”的学科。微积分基本知识中一些最重要的概念如导数、连续函数、定积分概念都直接建立在极限概念之上。笔者认为，新课程中不讲极限的概念，以上概念就不容易讲清楚，也不太好描述。很重要的一方面是，极限思想是一种重要的数学思想，不讲极限概念本身，也就很难把握极限的思想。实际上，在后续许多内容的教学中，极限的符号广泛使用，没有极限的语言使教学显得很不自然。

作者还说：山东省聊城大学有教师通过教学实验得到结论：“极限是学生学习导数的关键和难点”；大多数学生认为“导数概念不难学”；“教师对无极限的导数表现出不适应”；“微积分中的重要概念都是用极限定义的，导数也不例外，讲导数想避开极限是不可能的……与其若隐若现、马马虎虎，倒不如尊重学生的认知基础，把函数极限的知识提出来，当然表现形式上要自然流畅，淡化形式，重在极限思想的描述”。这些意见值得重视。

由此可见，函数极限概念是微积分学（初步）进入高中教学阶段的“拦路虎“，是回避不了的“教学难点”。如果这个问题能够处理得好，那么，我国普通高校的数学教育就有了一个”新起点“。我们要问，这个问题到底该怎么办呢？

1976年，J.Keisler发表了《基础微积分》教材，首次把A.Robinson关于现代无穷小（Infinitesinal）的概念引进到传统微积分的教学中，恢复了微积分原有的历史面貌，至今已有数十年了。超实数*R的引入简化了整个微积分学的教学与研究，特别是极大丰富了低年级学生的想象力，激发了学生的好奇心，有助于学生独立创新能力的培养与提高。

把超实数*R的概念引入高中教学阶段，等于把微积分教学的”原点“向前移动两、三年，事关我国基础教育质量的”大局“，不可轻视。2009年4月23日，美国Sean Cavanagh发表文章”A rush to Calculus”(冲向微积分）探讨了这一问题。由此可见，微积分教学“原点”前移的问题不是我国所独有，连发达国家美国也不例外。

说明：在两周之前，我遇到境外的一只麒麟（Kylin）闯入我国，与其纠缠多日而不得脱身。今日得以重返数学乐园，心情踏实多了。我不该陷入“麒麟闯入”事件，应该做自己能够做而且应该做的事情才对。