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超实线(Hyperreal line)是什么?

 
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进入九月份以后,新学年就要开始了,广大同学就要开始学习“高等数学”。我们要把已经成熟的知识写进教材,胡思乱想的东西不能编入课本。

《符号逻辑》学术季刊(J.Symbolic Logic),创始于1936年,是当今该领域的“The leading research journal”(领导研究刊物),发表高质量、得到公认的学术研究成果。在19919月(Volume 56,Number 3),J.Keisler发表研究论文,题为”TheHyerreal Line both saturated and complete“(既饱满又完全的超实线),从此,超实线(Hyperreal line)进入了人们的视线,不再是“一家之言”。

超实线如下图所示:

   /                     -1   0   1   2                   \ 
  / ........... __________|___|___|___|_________ ..........\
  \  negative               finite                positive / 
   \ infinite                                     infinite/
    从上图可见,在超实线的两个”远端“存在无限大的超实数。超实线是”an extension(延伸) of the real line. It contains all real numbers, and some infinite and infinitesimal numbers“,这是超实线的官方定义。我们说:”an element of the hyperreal line x is finite iff |x| < n for some integer n. x is infinite iff it is not finite. x is infinitesimal iff |x| < 1/n for all integers n. (Note that 0 is trivially infinitesimal)“。在此,什么是有限数、无穷大与无穷小交代的一清二楚。
    超实线的本质特征是,它含有”an infinite number H, and an infinitesimal 1/H = d“,注意:此处的小写字母”d“,就是莱布尼兹当年定义的无穷小”微分“,而无穷大数H就是公元前阿基米德最早定义的一个数学概念。这两者都不是什么新鲜概念。
    请看下图:(设想借助一个”显微镜“观察)





              1-2d    1-d     1     1+d    1+2d   1+3d  
    ____________|______|______|______|______|______|______________
    由上图我们可以发现一个有趣的现象:一个“动点”从左方无限接近于点”1“,然后,它又慢慢离去的景象。容易证明:在无穷小区间(1-2d,1+2d)里面没有任何实数存在(除了数字”1“)。这就是说,这个”动点“在无限接近点”1“的“瞬间过程“中,有一个无穷小的“时间段“,此时,该”动点“既在点”1“(在通常意义上),又不在点“1”(在超实线意义上)。十七世纪伟大法国数学家哥西(Cauchy)所坚持主张的导数定义就是这样的。

请看下图:(设想借助一个”望远镜“观察)

                H-2    H-1     H     H+1    H+2    H+3
    _____________|______|______|______|______|______|______________
    由上图可知:在无穷大数H的左右两旁都有无穷大数存在,其间没有任何实数。总之,超实线的模样儿显得”怪怪的“,有点儿”不可思议“。
    在新学期里面,我们要向国内广大学生(包括老师)推荐的”连续统“(超实线)就是这样的。但是,如果接受了这种”观念“,那么,整个微积分学就要改写,使其变得简单、直观,而且又有趣味性。何乐而不为?
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