第1.5节 超实线的引入

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6月25日，我们上传的第1.5节（无穷小，有限超实数与无穷大）是J.Keisler撰写的《基础微积分》教材的一个重点章节，其中明确地定义：”The real line is a subset of the hyperreal line; that is ,each real number belongs to the set of hyperreal“，核心意思是，每一个实数都属于超实数集合，也就是说，实数也是超实数（没有本质的不同），是超实数集合的成员。如果实数与超实数具有本质性的差别，那么，实数怎么能属于超实数的集合呢？由此可见，超实数（或超实线）是最基本的概念，是我们展开微积分学的出发点。

作者指出：”Surrounding each real number r, we introduce a collection of hyperreal numbers infinitely close to r.“，意思是说，围绕每一个实数r，我们引入一个“无限地接近”（infinitelyclose to）实数r的超实数集合（叫“单子”Monad）。单子是一个非常重要的概念。单子是超实线的基本子集合单元。超实线上是由团状的”单子“所构成的。每个有限”单子“里面有一个实数。为什么一个单子里面不能有两个实数？道理何在？

作者给出无穷小的定义：”The hyperreal numbers infinitely close to zero are called infinitesimals“，意思是说，那些”无限地接近零“的超实数叫无穷小（Infinitesimals）。由此可见，无穷小与”无限地接近“有密切的关系。只有在超实线（或超实数系统）里面，所谓“无限地接近”这种说法才有理论根据。

无穷小是一种超实数，具体地说，无穷小就是接近于零的那种超实数，数字零本身也算是无穷小。在超实线上，某些数字之间有一种”无限地接近“的关系，认识到这一点是非常重要的。微积分学的展开需要超实线。在传统微积分学里面，所谓”无限地趋近“是一种说不清楚的含混说法，老师说不清，学生学不懂，很是无奈。

超实线也叫富含无穷小的”连续统“（Continuum），是近年来兴起的新研究领域。比如，在超实线上怎样定义传统意义上的极限（limit）概念，在该教材的第5.8节里面有十分完备的阐述。实际情况是，无穷小方法不排斥（ε，δ）极限论，而是（ε，δ）极限论不容（甚至反对）无穷小方法。

在传统微积分学里面，把无限趋近于零的函数定义为无穷小，这是冒名顶替，不得已而为之。