超实数及其标准部分

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关于超实数及其标准部分（standard part）的论述，在国内互联网上很是少见，这个话题涉及关无穷小微积分的核心问题。超实数的标准部分是什么呢？

7月23日，J.Keisler《基础微积分》的第1.5节与第1.6节（标准部分）上传完毕。至此，在我国互联网上有了超实数标准部分的论述，填补了这个“空白”。这个“空白”在哪里（什么网站）填补的并不重要，只要你搜索“第1.6节标准部分”即可找到它。在不久的将来，我们将发布一个“阅览室”（导航地图）引导读者查找相关资料。

目前，有两种微积分学在国内互联网上布阵对峙，一种是无穷小微积分，一种是基于（ε，δ）极限论的传统微积分。超实数取其标准部分的运算“st”就是（ε，δ）极限论的替代物。在微积分中，极限“lim”运算没有了，取标准部分运算“st”取而代之，简而言之，”lim“换成了”st“。实际上，“st”运算类似于初等数学的代数运算，用”st“代替”lim“，微积分学得以极大地简化，下放中学成为实际可能。

J.Keisler在”第1.6节标准部分“里面给出以下两个重要定义：

DEFINITION

Two hyperreal numbers b and c are said to be infinitely close to each other, in symbols

b ≈c,if their difference b - c is infinitesimal. B≠c means that b is not infinitely close to c.

DEFINITION

Let b be a finite hyperreal number. Thestandard partof b, denoted by st(b), is the real number which is infinitely close to b. Infinite hyperreal numbers do not have standard parts.

我们要注意的是，所谓超实数b的标准部分st(b)是指：”the real number which is infinitely close to b“（即”无限接近于b的那个实数“），而不是超实数b自身的某个固有的部分。

有关取标准部分运算“st”，有如下定理”

THEOREM3

Let a and b be finite hyperreal numbers. Then

(i)st(-a) = - st(a).

(ii)st(a+b)= st(a)+st(b).

(iii)st(a-b)= st(a) -st(b).

(iv)st(ab)= st(a)·st(b).

(v)ifst(b) ≠0,then st(a/b)=st(a)/st(b).

(vi)st(an)=(st(a))n.

(vii)ifa ≥0, then st(____)=________.

(viii)ifa ≤b, then st(a) ≤ st(b).

证明在此省略。