无穷小与潘多拉魔盒（Pandora's Box）

考虑如下问题：是否存在一个很小、很小的数字“ε”，满足下式

-a < ε < +a

其中a为任意正实数。初看起来，这个问题似乎很奇怪，这个数字”ε“除非是实数零，而非零实数是不可能满足这个式子的。我们说，这种数字”ε“就叫”无穷小“（也叫无穷小量）。

6月18日，无穷小放飞互联网计划正式启动。一个多月以来，无穷小问题在国内互联网上闹得沸沸扬扬，很是热闹。给定函数f，公式y= f(x)有了-a<ε <+a意义（即有序偶（x，y)∈f）。为讨论问题说话方便起见，我们称小写字母x是自变量，而字母y是因变量，相应地，有改变量Δx与Δy(此处，Δy= f(x+Δx)-f(x)) 。

让Δx真正地变为非零无穷小（改变量），也就是说，Δx满足下式：

-a <Δx< +a

其中a为任意正实数。此时，我们有以下“无限近似等式”成立：：

（*） Δy/Δx≈ f'(x) （f'是函数f的导数）

注意：此处，Δx与Δy都是无穷小。

由（*）式，可知：Δy= f'(x)Δx + εΔx

其中ε是某一个与x和Δx有关的无穷小。J.Keisler用一种无穷小显微镜观察这一等式，发现“εΔx”这一项太小了，在显微镜的视野中消失不见了。于是只能看见等式”Δy=f'(x)Δx“留在显微镜的视野之中。此时，我们进入无穷小世界，数学家给这种无穷小起了一个新名字”微分“，记为”dy”与“dx”，于是，有了等式：

dy = f'(x)dx

也就是说，有

dy/dx = f'(x)

这就是当年莱布尼兹的伟大发明，从此，有了函数的微分学这门数学学科。

在历史上，从”Δy/Δx≈ f'(x)“演化到”dy/dx=f'(x)“，从”无限接近“变成”严格相等“，花费了几百年的时光。什么叫”微分学“？在无穷小的视野中，函数的改变量Δy就是其微分dy，两者相差为无穷小，根本区分不开。把话说明白了，在无穷小范围内，曲线变成了直线。除非再一次使用无穷小显微镜进行细致观察才能发现其中的奥妙。J.Keisler《基础微积分》的第2.2节（微分与切线）讲的就是这个道理。J.Keisler撰写的《基础微积分》把我们的”十一五“国家级规划教材全给比下去了。呜呼!

说明：在神话故事中，潘多拉（Pandora）女士出于好奇心打开了”魔盒“，魔鬼从里面跑了出来，其中就有”无穷小“（现代版本）。微积分不是“八股文”（ε，δ）极限论，微积分是很有趣味的思想体操，教会你思考问题的技巧。微积分”十一五“国家级规划教材把数百万大学生培养成”傻呆呆“，人虽然已经长大，但是，却只会玩布娃娃，流口水贪吃。不动脑筋，不要学习微积分。