微分是无穷小吗？

微分是什么？微分是无穷小吗？在国内数学界，说法很多，都是模棱两可，是是非非，没有定论。我们说，微分当然是无穷小，否则，这门学科怎么叫做无穷小微积分学呢？

回顾过去，今年1月28日，我在“导数与微分是什么？”一文中，曾经提起这个问题。3月9日，在”袖珍电子书：一元实函数的微分定义“里面，我又重新讨论了这个问题。7月27日，J.Keisler《基础微积分》的第2.2节（微分与切线）上传之后，这个问题就算“真相大白”了。但是，好事多磨，给我传送过来的“第2.2节微分与切线”的电子文件有点毛病，文件打不开，只得重新传送一次。

在J.Keisler《基础微积分》教程里面，函数的微分自然定义为无穷小，这没有什么大惊小怪的。将函数y=f(x)的微分定义为新函数

dy = f'(x)dx

如果导数f'(x)存在的话。在这里，dx与dy都是超实数*R中的无穷小。这种微分定义的方式与传统微分定义是完全等价的。J.Keisler在《无穷小微积分基础》辅导电子书里面严格证明了这一点。该证明，本文在此省略。

实际上，我们把函数微分定义为无穷小，极大地简化了微积分学。这个定义，在上世纪60年代，美国A.Robinson就提出来了。1976年，J.Keisler只是把函数的微分定义进一步通俗化罢了。这个概念（微分是无穷小）波及中国，那只是今天的事情。

数学理论是人类的基础知识（宝库），是人类认识客观世界的武器。现在的问题是，有人不认为这种无穷小是严格的数学对象，而是迷恋于传统的（ε，δ）极限论，竭力想拖住历史向前发展的车轮。无穷小袖珍电子书，上传互联网大课堂是他们所惧怕的事情。但是，这种事情终于发生了。无穷小“精灵”已经从潘多拉魔盒中逃了出来，躲入互联网丛林之中，不易清除干净。

有人想站出来公开反对无穷小理论。这种人要想清楚一件事情：现代无穷小理论的“背景”是什么？实际上，无穷小理论的“家庭背景”是公理化集合论，数理逻辑模型论，以及现代纳米（Nano)技术的理论需求。公开反对不成，只能在背地里面搞“小动作”。

我想再说一遍，无穷小是严谨的数学概念，而不是空泛的哲学理念。我所关心的问题是，如何经由互联网把无穷小方法注入广大年轻学子的脑壳之中，使他们一辈子受益不尽。无穷小不能卖钱，而且，政府官员的不作为、学校领导与授课教师对无穷小方法层层”设卡“，保卫传统（ε，δ）极限论的“底线”。现在，无穷小阵营，势单力薄，孤立无援。我们父子（女）数人只能“绝地反击”，寻求一条生路。