有人不愿意进入《微积分阅览室》,担心里面有“鬼”(逻辑矛盾)。这种担心完全是不必要的。为什么?
给定两个实数序列,除了有限项之外(forall but finitely manyn),其它的项均相等,称为“等价”。这种分类方式非常精确,能够分出“超实数”类。实际上,哥西(Cauchy)等价类太粗了,把一切无穷小(序列)都归于“零”类。J.Keisler在《基础微积分后记》的最后一页,终于点明了“主题”(所谓“交底”)。他说:“The
mistake of Leibniz and his contemporaries was to identify all the infinitesimals with zero. This leads to an immediate contradiction because
dy/dx becomes 0/0. In the present treatment the equivalence classes of
<1,1/2,1/3, ……, 1/n, ……>
and
<0,0, ……0, ……>
are different hyperreal numbers. They are not equal but merely have the same standard part, zero.
This avoids the contradiction and once again makes infinitesimals a mathematically sound method.”
上述英文段落的原意,说得直截了当,意思清清楚楚。由此可见,在《微积分阅览室》里面怎么会有“鬼”呢?原来,实数与超实数都是序列的“等价类”,彼此彼此,半斤八两,不分高低贵贱,谁也不要说谁的“坏话”。
如今,无穷小真的来了,进入了广大学子的脑壳。那么,物理、化学、生物,天文、地理等教科书都需要改写,麻烦可大了。有人想把无穷小重新装回潘多拉”魔盒“,可是无穷小袖珍电子书已经上传到互联网,如同癌症扩散,到了后期,谁也治不了。
数学是一门学问,必须踏踏实实地学,实事求是地想,想投机取巧是不行的。<微积分阅览室>不是网吧,臭气熏天。这里是学习数学知识的乐园。欢迎大家光顾、下载经典名句,给予指教批评。
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