两千多年前,古希腊数学家欧几里德在《几何原本》中提出了五条公设如下::
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由任意一点到任意一点可作直线。
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一条有限直线可以继续延长。
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以任意点为心及任意的距离可以画圆。
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凡直角都相等。
5.同一平面内一条直线和另外两条直线相交,若在某一侧的两个内角的和小于两直角,则这两直线经无限延长后在这一侧相交。
借助逻辑思维(概念、判断与推理)的力量,欧几里德成功地展开了整个的平面几何学。在人类发展史上,这是非常了不起的成就。逻辑思维是近代科学的本质特征。在近代历史上,中国人不认可起源于西方的科学技术(包括逻辑思维的科学),迷信权力万能至上,闭门锁国,吃了不少苦头。
大约在1820年前后,俄国数学家罗巴切夫斯基(Lobachevsky),独辟蹊径,提出了一个与第五公设相矛盾的命题,用它来代替第五公设,然后与欧氏几何的前四个公设结合成一个公理系统,展开一系列的逻辑推理。他认为如果这个系统在逻辑推理中出现了逻辑矛盾,就等于证明了第五公设(即证实了其为一条几何定理)。这就是数学上的所谓”反证法“。但是,在他极为细致深入的逻辑推理过程中,并未发现逻辑矛盾,反而得出了一个又一个在直觉上匪夷所思的”直觉矛盾“。面对如此结果,罗巴切夫斯基该怎么办呢?
罗巴切夫斯基的过人智慧之处在于:他不相信感官直觉的显然(据此宣布第五公设已经被“反证法”所证明),而坚信逻辑思维的力量(正确性),得出两个重要的结论:
由此可以得出一个极为重要且具有普遍意义的结论:凡逻辑上互不矛盾的一组假设都有可能成为一种新型几何学的理论体系。由此,有力地推进了数学全面公理化的历史进程。人们认识到,非欧几何虽然结论”怪异“(在直觉上),但是,它是没有内部矛盾的数学理论,由此逐步形成了近代的数学真理观(请见:无穷小存在吗?)。非欧几何进一步的发展促成了二十世纪前后公理化数学与现代物理学的大发展,出现了极度抽象的公理化集合论、深奥无比的相对论与量子力学,促成了核能的发现与利用,......,直至核能驱动的好奇号火星车的登陆火星表面成功。实际上,非标准分析(即无穷小微积分)的创立,其重要意义并不亚于确立非欧几何的重要性,两者都是成功运用逻辑思维所取得的重大成就。......进入《微积分阅览室》,面对公理化的微积分学,我们提倡潜心研究,独立思维,反对不求甚解,浅尝则止。我们要在数学公理化的大背景下正确看待无穷小微积分学的复活。
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