关于乘积求导法则在考研数学中的应用

所谓“乘积求导法则”是指求导公式：

(uv)' = u'v + uv'

其中u，v是变量x的可导函数。这个求导公式的用处很大，很有“来头”。为什么？

当今，按照现行的教学大纲，我们国内新入学的数百万大学新生（90后）几乎都在学习这个求导公式。查阅普通高等学校“十一五”国家级规划教材，比如，同济大学编写的《高等数学》以及复旦大学编写的《数学分析》，关于这个公式的数学证明都用到一个事实（条件）：可导函数必定连续。也就是说，这个公式必须放在连续函数内容之后才能讲解。这是什么原因呢？

查阅菲氏《微积分学教程》第一卷第3章第一节（第164页）不难发现，上述所谓“国家级规划教材”关于这个求导公式的证明均源于上世纪50年代的菲氏老祖宗的教导。我们要问，这是必须的吗？非也。

在J. Keisler《基础微积分》学的第2.3节有理函数的导数（见《微积分阅览室》）里面，Keisler给出了不使用连续函数概念的一个严格的数学证明，由此不难看出，此举很大程度上提前、简化了微分法的应用，使得微积分下方中学也有了实际可能。这是引入超实数的优势之一。

乘积求导法则有什么用处呢？由该求导公式可以直接推出：常数法则，乘幂法则以及商法则，从而，整个有理函数的求导均无问题了。配合简单超越函数（三角函数以及指数函数）的复合函数、反函数求导法则，由此，考研数学中的求导问题算是过关了。这就是说，乘积求导法则对于一切考研者不可小视也。

大家知道，分部积分法

∫udv = uv - ∫vdu

也来源于上述乘机求导公式。利用分部积分法，我们又开辟了微积分学的一片新天地。

有人说，考研数学用不上无穷小微积分。这话未必正确。例如，上述乘积求导法则在考研数学中的”神通广大“，非传统微积分可比。但是，目前的考研数学并不涉及乘积求导法则的数学证明（需要利用另一种微积分学模型），所以，在目前情况下，无穷小微积分在考研中可以轻易地“蒙混过关”，“瞒天过海”，而无人知晓（阅卷者不知也）。但是，考生在录取复试时需要向老师“如实交代”，大胆承认在考试时使用了无穷小微积分（符合考研数学大纲）。