何谓“一致性导数”？

大家知道，传统“逐点定义”(pointwise)的函数导数会导致“病态”现象，比如，在一点处，函数导数值为正，但是，函 数在此点却不是增函数。那么，我们该怎么办呢？

如果我们采用如下导数定义，问题就解决了。：

假定函数f在开区间(a，b)内有定义，如果对每一个闭子区间[α,β] ⊂ (a, b)，极限等式

lim（f[x + ∆x] − f [x]）/∆x = f‘ [x] （注：∆x→0）

在闭子区间[α,β]上一致（uniformly）成立，那么，我们就说函数f'[x[为函数f的一致性导数（这是非逐点定义模式）。

在我国普通高校的微积分教学大纲有一致收敛极限的概念（定义），但是，很可惜的是，没有用到导数的严格定义上。我们可以证明，具有一致性导数f'的函数f是光滑的（smoothness），反之，光滑函数f及其一致性导数f'必定是连续的（注意：这不是一个显然的结论！证明很长，在此省略。）

对于一致性导数而言，传统微积分学的“病态”就消失了。事实上，我们可以证明，一切由数学公式所表达的函数都有“一致性导数”。从此，传统微积分学恢复了健康（对考研而言）。那么，如何处理（或展开)这种新型微积分学呢？引入超实数系统R*是最佳选择方案（见k.D.Stroyan：”无穷小微积分的数学基础“，有英文PDF电子版可供免费下载。）。

《教育与人生》网站不是数学医生，不想为传统微积分治病而出名，而只想与90后大学生交朋友，相互沟通，传递现代数学知识，助力国家之复兴。俗话说：技不压人。对于90后大学生而言，除了学习（ε，δ）极限论，学点儿现代数学的超实数知识，看清传统微积分学的“小毛病”（病态）是很有益处的。

我不知道我的读者裙是些什么人，其中有没有90后大学生？回到过去，在1957年的秋天，我也是和90后一样的大学生，神采飞扬，不知疲倦，热心钻研数学。很可惜的是，在那个时期世界上只有（ε，δ）极限论，没有现代意义上的无穷小理论。现在，时代不同了，那时期“赶英超美”的梦想，在90后这一代人的手中就要真的实现了。你们是很幸福的一代！与你们为伍（做朋友）并不丢人。

我相信，在我的读者群中也许有一些数学教员，甚至是中学数学教师。这是我最想结交的朋友，因为，我们都是“同路人”。《教育与人生》网站即将开通，让我们在那里相见！

说明：如果在超实数系统R*里面展开关于一致性导数的理论，那么，微积分学将显得有趣、自然、易懂（特别是对90后而言）。这就是我们引进超实数的动机之一。