研究微积分学的辩证沉思录

记得，在四十多年前，北京图书馆坐落在北京市北海公园的西侧，那里是我常去的地方。那时，馆藏英文原版微积分学图书数量很少，而且大多都是上世纪二十年代以后从国外进口的原版微积分学图书，因而，在那个年代在国内研究微积分学的概念演化史几乎是不可能的事情。

1983年，《数学手稿》英文版首次出版发行，此后，相继发表了一些研究论文，揭去了围绕《手稿》的神秘面纱。仔细研读《手稿》全文，从本质上来讲，的这份《数学手稿》是本人学习、研究微积分学概念演化史的沉思录，不是专门为别人而写（除了与恩格斯讨论之外）。事实上，《手稿》的内容到处流露出一位辩证唯物学者的智慧光芒。从1873至1881年，这是孕育、写作《手稿》的年代，也是微积分分学发展的岔路口。在微积分学向前演化中，是走向柯希的极限论，还是坚持莱布尼兹的无穷小路线？

在《手稿》中，在论述导数概念时，有这样一句话如下：

“The closely-held belief of some rationalising mathematicians that dy and dx are quantitatively actually only infinitely small,only approaching 0/0,is a chimera，......”

这句话的大意是，理性数学家们认为，dy与dx都是“实际的无限小、一同趋于0/0，......在这里，把记号0/0称之为“Chimera”（客米拉，是一种四不像的怪物）。客米拉是一个完整的记号，不是零比零的意思。

客米拉0/0是怎样求出来的呢?在表达式∆y/∆x中，第一步，先利用代数运算分离出含有∆x的项，第二步，直接令∆x= 0，由此求出客米拉0/0的具体数值，客米拉0/0的数值称为函数的导数。

在求客米拉0/0的过程中，为什么直接让∆x等于零？真是匪夷所思也。1960年，美国学者A.Robinson创立了非标准分析，又称为无穷小分析，在函数导数的定义中，在客米拉0/0中”令∆x等于0“恰好相当于对超实数∆y/∆x取标准部分运算，即st(∆y/∆x)。这是纯粹的巧合吗？非也。

在看来，客米拉0/0是求导数的辩证工具；在数学家看来，客米拉0/0是不定式，没有任何确定意义。我们不能说发明了现代无穷小微积分，但是，的客米拉0/0辩证工具预示了现代非标准分析的出现，是现代无穷小微积分思想潮流的先兆。

袁萌 元月6日清晨