定义
p是质数,并且gcd(a,p)=1(a,p互质),那么有
ap−1≡1mod(p)
证明
准备知识
- 剩余类:对模n同余的整数构成的一个集合叫做模n的一个剩余类。
- 简化剩余系(也叫既约剩余系):模n的值与n互质的全部剩余类中,从每一类中各任取一数所组成的数的集合,叫做模n的一个简化,也叫缩系。
- 完全剩余系:从模n的每个剩余类中各取一个数,得到一个由n个数组成的集合,叫做模n的一个完全剩余系。
剩余系定理2:有整数a,b,c,m为正整数,且gcd(m,c)=1,
则当ac≡bcmod(m)时,有a≡bmod(m).
- 证明:
-
ac≡bcmod(m)=>
-
(a−b)c≡0mod(m)=>
(因为gcd(c,m)=1,所以(a−b)为m的倍数)
- (a−b)≡0mod(m)
- a≡bmod(m)
剩余系定理7:有一个整数m,且m>1,b是一个整数,且gcd(m,b)=1。如果a1,a2,…,am是模m的一个完全剩余系,那么有ba1,ba2,…,bam是同样是模m的一个完全剩余系。
- 证明:
- 若存在bai≡bajmod(m)
- 那么根据剩余系定理2可知,ai≡ajmod(m)
- 又因为ai,aj同属于一个完全剩余系,所以不会有同余的情况。
证明过程
- 构造素数p的既定剩余系:1,2,…,p−1
- 因为gcd(a,p)=1,所以根据定理7:a,2a,…,(p−1)a也是素数p的一个既定剩余系。
- 那么就有1∗2∗⋯∗(p−1)≡1∗2∗⋯∗(p−1)∗ap−1modp
- 即ap−1≡1mod(p)
应用
分享到:
相关推荐
本文为被称为“费马最后定理”的问题提供了一个简短而新颖的解决方案。 它是在不使用抽象代数元素或二十世纪现代数学其他领域的元素的情况下实现的。 因此,任何数学家或任何熟悉基础数学的人都可以轻松理解它。 ...
小学数学数学故事费马最后定理
费马大定理-解开一个古代数学难题的秘密.pdf
《数学女孩2:费马大定理》中每一章针对不同议题进行解说,非常适合对数学感兴趣的初高中生以及成人阅读。 Contents: Chapter 1. 将无限宇宙尽收掌心 Chapter 2. 勾股定理 Chapter 3. 互质 Chapter 4. 反证法 ...
困扰世界各地数学家的最有趣和最著名的问题很可能是费马最后定理。 但是,自从提出该定理以来,人们一直无法找到解决问题的方法,直到安德鲁·威尔斯(Andrew Wiles)于1995年通过一种非常困难的方法,即“模块化...
费马大定理证明历史过程与科普 费马大定理证明历史过程与科普 费马大定理证明历史过程与科普 费马大定理证明历史过程与科普
小学数学数学故事从商高定理到费马大定理
费马定理学术证明,数学控值得收藏。 X^n + y^n = Z^n n大于3时,该等式没有正整数解。 简洁的命题,证明的费尽,期待费马的巧妙证明。
费马大定理:介绍一些关于费马大定理的背景和当时的一些数学问题
小学数学数学故事数学猜想系列____费马最后定理
英国数学家安德鲁.怀尔斯对费马大定理的证明原本。
费马小定理 欧拉定理 裴蜀定理 扩展 逆元 逆元求解 线性求逆元:递推/倒推 线性同余方程(组) 中国剩余定理 扩展中国剩余定理 3. 高斯消元 4. 组合计数 加法原理和乘法原理 排列数和组合数 组合数的...
【C语言程序】数学—定律 、定理、方法、算法
此第二版以新的观点阐述了数学的最新进展,叙述了四色定理和费马大定理的证明等。这些问题是在柯朗与罗宾写书的年代尚未解决,但现在已被解决了的。 本书是世界著名的数学科普读物,它搜集了许多经典的数学...
那么,费马大定理会不会也是不可...计算机超凡的计算能力,对于数学当然是有很大帮助的,比如同样著名的四色定理,最终证明就是靠计算机完成的,这在当时是一件极为轰动的大事。 不过,计算机证明仍然需要被理智地看待
此第二版以新的观点阐述了数学的最新进展,叙述了四色定理和费马大定理的证明等。这些问题是在柯朗与罗宾写书的年代尚未解决,但现在已被解决了的。 本书是世界著名的数学科普读物,它搜集了许多经典的数学...
作者用简单易懂的文字向读者介绍了数学的每一个重要领域,无论是费马大定理、哥德巴赫猜想,还是罗素悖论、哥尼斯堡七桥问题,斯图尔特教授都深入浅出,将其化为若干片段,用讲故事的方式帮助读者理解。同时本书也...
那么,费马大定理会不会也是不可...计算机超凡的计算能力,对于数学当然是有很大帮助的,比如同样著名的四色定理,最终证明就是靠计算机完成的,这在当时是一件极为轰动的大事。 不过,计算机证明仍然需要被理智地看待
数学上的一写有趣的问题如费马大定理、计算机与艺术、经典悖论漫游、卡丹与三次方程等
而对于欧拉函数以及费马小定理和欧拉定理,其证明方法并不是很难,我们也可网络安全知识手册学习心得全文共5页,当前为第4页。网络安全知识手册学习心得全文共5页,当前为第4页。在网上找到相关过程;不过其应用却是...