描述
欧几里德算法
别名:辗转相除法
用途:计算两个正整数a,b的最大公约数
欧几里德拓展算法
扩展欧几里德算法是用来在已知a, b求解一组x,y,使它们满足等式:
ax+by=gcd(a,b)=d(解一定存在,根据数论中的相关定理)。扩展欧几里德常用在求解模线性方程及方程组中。
代码
C++ 欧几里德
LL gcd (LL a, LL b) {
return b ? gcd(b, a%b) : b;
}
C++ 拓展欧几里德
void exgcd (LL a, LL b, LL& d, LL& x, LL& y) {
if (b) {
d = a;
x = 1;
y = 0;
} else {
exgcd(b, a%b, d, y, x);
y -= (a/b)*x;
}
}
简单推导
对于ax+by=c,用拓展欧几里德算法求一对解,|x|+|y|最小的值。当c=k∗gcd(a,b)有整数解,当c!=gcd(a,b)时无解。
-
g=gcd(a,b),设x0,y0为ax+by=g的一组解
- 那么ax+by=c的一组解即为x0∗c/g,y0∗c/g
- 若xi=x0∗c/g为整数解,那么有c=k∗g
通解
- x=x0+k∗b′(b′=b/gcd(a,b)
- y=y0+k∗a′(a′=a/gcd(a,b)
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