题目链接:zoj 3822 Domination
题目大意:给定一个N∗M的棋盘,每次任选一个位置放置一枚棋子,直到每行每列上都至少有一枚棋子,问放置棋子个数的期望。
解题思路:大白书上概率那一张有一道类似的题目,但是因为时间比较久了,还是稍微想了一下。
dp[i][j][k]表示i行j列上均有至少一枚棋子,并且消耗k步的概率(k≤i∗j),因为放置在i+1~n上等价与放在i+1行上,同理列也是如此。所以有转移方程:
- dp[i][j][k+1]+=dp[i][j][k]∗(n−k)(S−k)
- dp[i+1][j][k+1]+=dp[i][j][k]∗(N−i)∗j(S−k)
- dp[i][j+1][k+1]+=dp[i][j][k]∗(M−j)∗i(S−k)
- dp[i+1][j+1][k+1]+=dp[i][j][k]∗(N−i)∗(M−j)(S−k)
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int maxn = 55;
const int maxm = 2505;
int N, M;
double dp[maxn][maxn][maxm];
double solve () {
int S = N * M;
memset(dp, 0, sizeof(dp));
dp[1][1][1] = 1;
for (int i = 1; i <= N; i++) {
for (int j = 1; j <= M; j++) {
int n = i * j;
for (int k = max(i, j); k <= n; k++) {
dp[i][j][k+1] += dp[i][j][k] * (n - k) / (S - k);
dp[i+1][j][k+1] += dp[i][j][k] * (N - i) * j / (S - k);
dp[i][j+1][k+1] += dp[i][j][k] * (M - j) * i / (S - k);
dp[i+1][j+1][k+1] += dp[i][j][k] * (N - i) * (M - j) / (S - k);
}
}
}
double ans = 0;
for (int i = max(N, M); i <= S; i++)
ans += (dp[N][M][i] - dp[N][M][i-1]) * i;
return ans;
}
int main () {
int cas;
scanf("%d", &cas);
while (scanf("%d%d", &N, &M) == 2) {
printf("%.8lf\n", solve());
}
return 0;
}
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