无向图的双连通分量

无向图的双连通分量

点-双连通图:对于一个无向连通图,如果任意两个点至少存在两条”点不重复”的路径,则说这个图是点-双连通的.这个要求等价于任意两条边都在同一个简单环内,即内部无割顶.

注意:孤立点,以及两点一边这两种图都是点-双连通的.因为它们都是内部无割点.

边-双连通图:如果任意两个点至少存在两条”边不重复”的路径,我们说这个图是边-双连通的.即每条边都至少在一个简单环中,即所有边都不是桥.

注意:孤立点是边-双连通的,但是两点一边不是边-双连通的.

对于一张无向图,点-双连通的极大子图称为双连通分量.不难发现,每条边恰好属于一个双连通分量(间接说明两点一边是一个点-双连通分量).但不同双连通分量可能会有公共点.可以证明不同双连通分量最多只有一个公共点,且它一定是割顶.另一方面任意割顶都是至少两个不同的点-双连通分量的公共点.

边-双连通的极大子图称为边-双连通分量.除了桥不属于任何边-双连通分量外,其他每条边恰好属于一个边-双连通分量,而且把所有桥删除之后,每个连通分量对应原图中的一个边-双连通分量.

总之:

判断一个图是不是点-双连通的只要看图中是否有割点.

判断一个图是不是边-双连通的只要看图中是否有桥.

(两条边都在同一个简单环内或每条边都至少在一个简单环中这两个判断依据可以直接忽略)

以上概念大部分来自刘汝佳<<训练指南>>P314-315.

计算点-双连通分量(无重边)的算法核心代码如下:

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<vector>
#include<stack>
using namespace std;
const int maxn=1000+10;
int n,m;
struct Edge
{
    int u,v;
};
stack<Edge> S;
vector<int> G[maxn],bcc[maxn];
//bcc[i]中包含了i号点-双连通分量的所有节点

int bcc_cnt,dfs_clock;//bcc_cnt计数一共有多少个点-双连通分量
int pre[maxn],iscut[maxn],low[maxn];
int bccno[maxn];//bccno[i]=x表示第i个顶点属于x号点双连通分量

void dfs(int u,int fa)
{
    low[u]=pre[u]=++dfs_clock;
    int child=0;
    for(int i=0;i<G[u].size();i++)
    {
        int v=G[u][i];
        if(v==fa) continue;
        Edge e = (Edge){u,v};
        if(!pre[v])
        {
            S.push(e);
            child++;
            dfs(v,u);
            low[u]=min(low[u],low[v]);
            if(low[v] >= pre[u])
            {
                iscut[u]=true;
                bcc_cnt++;//注意bcc_cnt从1开始编号
                bcc[bcc_cnt].clear();
                while(true)
                {
                    Edge x=S.top(); S.pop();
                    if(bccno[x.u]!=bcc_cnt)
                    {
                        bcc[bcc_cnt].push_back(x.u);
                        bccno[x.u]=bcc_cnt;
                    }
                    if(bccno[x.v]!=bcc_cnt)
                    {
                        bcc[bcc_cnt].push_back(x.v);
                        bccno[x.v]=bcc_cnt;
                    }
                    if(x.u==u && x.v==v) break;
                }
            }
        }
        else if(pre[v]<pre[u]) //这个判断条件如果少了,就是WA,可修改POJ2942代码
        {
            S.push(e);
            low[u]=min(low[u],pre[v]);
        }
    }
    if(fa<0 && child==1) iscut[u]=0;
}

void find_bcc(int n)
{
    memset(pre,0,sizeof(pre));
    memset(iscut,0,sizeof(iscut));
    memset(bccno,0,sizeof(bccno));
    dfs_clock = bcc_cnt = 0;
    for(int i=0;i<n;i++)
        if(!pre[i]) dfs(i,-1);
}
int main()
{
    while(scanf("%d%d",&n,&m)==2&&n)
    {
        for(int i=0;i<n;i++) G[i].clear();
        for(int i=0;i<m;i++)
        {
            int u,v;
            scanf("%d%d",&u,&v);
            G[u].push_back(v);
            G[v].push_back(u);
        }
        find_bcc(n);
        printf("点-双连通分量一共%d个\n",bcc_cnt);
        for(int i=1;i<=bcc_cnt;i++)
        {
            printf("第%d个点-双连通分量包含以下点:\n",i);
            sort(&bcc[i][0],&bcc[i][0]+bcc[i].size()); //对vector排序,使输出的点从小到大
            for(int j=0;j<bcc[i].size();j++)
            {
                printf("%d ",bcc[i][j]);
            }
            printf("\n");
        }
    }
    return 0;
}
/*
示例输入:
6 7
1 2
2 3
1 3
3 4
4 5
3 5
5 6
输出:
点-双连通分量一共3个
第1个点-双连通分量包含以下点:
5 6
第2个点-双连通分量包含以下点:
3 4 5
第3个点-双连通分量包含以下点:
1 2 3
*/

边-双连通分量可以用更简单的方法求出,分两个步骤,先做一次dfs标记出所有的桥,然后在做一次dfs找出边-双连通分量.因为边-双连通分量是没有公共节点的,所以只要在第二次dfs的时候保证不经过桥即可.

还有更简单的方法呢:用一次tarjan()递归函数求出所有点的low[i]值.我们从之前的题目中知道,对于同一个边-双连通分量的点,它们的low值一定相同.对于不同边-双连通分量的点,它们的low值一定不同.

所以tarjan之后,我们通过扫描所有点的low值就可以分别找到所有边-双连通分量的点.