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POJ 1637 Sightseeing tour(最大流)

 
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POJ 1637 Sightseeing tour(最大流)

http://poj.org/problem?id=1637

题意:

判断混合图是否存在欧拉回路.(即既有有向边,又有无向边的图)

分析:

把该图的无向边随便定向,计算每个点的入度和出度。如果有某个点出入度之差为奇数(改变任意一条无向边的方向可以使得其关联的两个点的入度和出度度数改变2,即偶度永远是偶度,奇度永远是奇度),那么肯定不存在欧拉回路。因为欧拉回路要求每点入度 = 出度,也就是总度数为偶数,存在奇数度点必不能有欧拉回路。

好了,现在每个点入度和出度之差均为偶数。那么将这个偶数除以2,得x。也就是说,对于每一个点,只要将x条边改变方向(入>出就是变入,出>入就是变出),就能保证出=入。如果每个点都是出=入,那么很明显,该图就存在欧拉回路。

现在的问题就变成了:我该改变哪些边,可以让每个点出=入?构造网络流模型。首先,有向边是不能改变方向的,所以把有向边的容量设置为0(后面可以看出为什么这么设)。一开始不是把无向边定向了吗?定的是什么向,就把网络构建成什么样,每条被定向的无向边容量上限1。另新建s和t。对于入>出的点u,连接边(u, t)、容量为x(x==(入度-出度)/2),对于出>入的点v,连接边(s, v),容量为x(x==(出度-入度)/2)。之后,察看是否有满流的分配。有就是能有欧拉回路,没有就是没有。欧拉回路是哪个?察看流值分配,将所有流量非 0(原始无向边的上限是1,流值不是0就是1)的边反向,就能得到每点入度=出度的欧拉图。

由于是满流,所以每个入>出的点(t相连),都有x条流量为1的边进来,将这些进来的边反向(OK,所有入度>出度的点现在都入==出了,4图中黑色箭头标出了需要反向的4条边)。对于出>入的点(s相连)都有x条流量为1的边出去,将这些出去的边反向。那么,没和s、t连接的点怎么办?和s连接的条件是出>入,和t连接的条件是入>出,那么这个既没和s也没和t连接的点,自然早在开始就已经满足入=出了。那么在网络流过程中,这些点属于“中间点”。我们知道中间点流量不允许有累积的,也就是说,如果有一条流量为1的边进了这个中间点,那么必然有一条流量为1的边往中间点出去了(4实际流量图中的点Q),将所有流量为1的边反向,对于中间点入度与出度无影响。所以,就这样,混合图欧拉回路问题,解了。

下面是本题的具体操作:

首先将所有边信息读入,无向边直接看成有向边即可.如果是无向边就添加对应容量为1的边,如果是有向边就添加对应容量为0的边(有向边可以不加,但是后面更新节点的度数必须进行).且对于每条边都要更新对应两个节点的出度和入度.

首先遍历一遍每个节点的出度和入度,如果abs(出度-入度)为奇数,那么肯定不存在欧拉回路.

然后依次遍历每个节点:

如果该节点的出度>入度,那么就连一条s(源点编号0)到该点,容量为(出度-入度)/2的边.

如果该节点的入度>出度,那么就连一条该点到汇点t(汇点编号n+1)的容量为(入度-出度)/2的边.

最终我们只要计算该图的最大流是否==s点所连接的所有边的容量 即可. 是,则存在欧拉回路,不是则不存在.

AC代码:

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<vector>
#include<queue>
#define INF 1e9
using namespace std;
const int maxn=200+5;

struct Edge
{
    int from,to,cap,flow;
    Edge(){}
    Edge(int f,int t,int c,int fl):from(f),to(t),cap(c),flow(fl){}
};

struct Dinic
{
    int n,m,s,t;
    vector<Edge> edges;
    vector<int> G[maxn];
    int d[maxn];
    int cur[maxn];
    bool vis[maxn];

    void init(int n,int s,int t)
    {
        this->n=n,this->s=s,this->t=t;
        edges.clear();
        for(int i=0;i<n;i++) G[i].clear();
    }

    void AddEdge(int from,int to,int cap)
    {
        edges.push_back( Edge(from,to,cap,0) );
        edges.push_back( Edge(to,from,0,0) );
        m=edges.size();
        G[from].push_back(m-2);
        G[to].push_back(m-1);
    }

    bool BFS()
    {
        queue<int> Q;
        Q.push(s);
        memset(vis,0,sizeof(vis));
        vis[s]=true;
        d[s]=0;
        while(!Q.empty())
        {
            int x=Q.front(); Q.pop();
            for(int i=0;i<G[x].size();i++)
            {
                Edge& e=edges[G[x][i]];
                if(!vis[e.to] && e.cap>e.flow)
                {
                    vis[e.to]=true;
                    Q.push(e.to);
                    d[e.to]=d[x]+1;
                }
            }
        }
        return vis[t];
    }

    int DFS(int x,int a)
    {
        if(x==t || a==0) return a;
        int flow=0,f;

        for(int& i=cur[x];i<G[x].size();i++)
        {
            Edge& e=edges[G[x][i]];
            if(d[e.to]==d[x]+1 && (f=DFS(e.to,min(a, e.cap-e.flow) ) )>0)
            {
                e.flow +=f;
                edges[G[x][i]^1].flow -=f;
                flow+=f;
                a-=f;
                if(a==0) break;
            }
        }
        return flow;
    }

    int Max_Flow()
    {
        int ans=0;
        while(BFS())
        {
            memset(cur,0,sizeof(cur));
            ans +=DFS(s,INF);
        }
        return ans;
    }
}DC;

int in[maxn],out[maxn];//入度,出度

int main()
{
    int T; scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        int n,m;
        scanf("%d%d",&n,&m);
        DC.init(n+2,0,n+1);
        memset(in,0,sizeof(in));
        memset(out,0,sizeof(out));
        while(m--)
        {
            int u,v,type;
            scanf("%d%d%d",&u,&v,&type);
            ++in[v];
            ++out[u];
            if(type==0) DC.AddEdge(u,v,1);
        }
        int full_flow=0;//用于判断是否满流
        bool ok=true;
        for(int i=1;i<=n;i++)
            if(abs(in[i]-out[i])%2==1)
            {
                ok=false;
                break;
            }
            else if(in[i]!=out[i])
            {
                if(in[i]>out[i])
                {
                    DC.AddEdge(i,n+1,(in[i]-out[i])/2);
                    full_flow+=(in[i]-out[i])/2;//注意full_flow加的值
                }
                else DC.AddEdge(0,i,(out[i]-in[i])/2);
            }
        if(ok && DC.Max_Flow()!=full_flow) ok=false;

        printf("%s\n",ok?"possible":"impossible");
    }
    return 0;
}

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